Sejam E=(e1, e2, e3) e G=(g1, g2, g3) bases de mid R^3 tais que:
g1=2 e1+e2-e3
g2=e1-e2
g3=3 e1+2 e2
a) Escreva a matriz de mudança de base de G para E, isto é, a matriz [I]G E(MG E).
b) Exprima os vetores e1, e2, e3 na base G, ou seja, escreva cada um como combinação linear de g1, g2, g3.

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá duas bases de R^3:
  • E=(vec e1,vec e2,vec e3)
  • G=(vec g1,vec g2,vec g3)
Ele pede duas coisas:
a) A matriz de mudança de base de G para E, que a gente chama de [I]Gto E.
b) Escrever cada vec ei como combinação linear de (vec g1,vec g2,vec g3), ou seja, achar as coordenadas de vec e1,vec e2,vec e3 na base G.
Conteúdo da matéria: mudança de base em espaços vetoriais e inversão de matrizes.
O que vamos precisar:
  1. Saber que, para mudar de base de G para E, a matriz [I]Gto E tem como colunas as coordenadas dos vec gj na base E.
  2. Para achar vec ei na base G, a gente inverte essa matriz (se o determinante for diferente de zero) e usa as colunas da inversa como coordenadas de cada vec ei.

Passo 2

Montando [I]Gto E: cada coluna é o vetor vec gj escrito em coordenadas da base E.
Foi dado:
vec g1 = 2vec e1 + vec e2 - vec e3, vec g2 = vec e1 - vec e2 + 0vec e3, vec g3 = 3vec e1 + 2vec e2 + 0vec e3
Então as colunas são os coeficientes dessas combinações:
[I]Gto E = 2 & 1 & 3[6pt] 1 & -1 & 2[6pt] -1& 0 & 0
]

Passo 3

Agora, para expressar vec e1,vec e2,vec e3 em G, a gente precisa da matriz inversa
[I]Eto G =l([I]Gto Er)^-1
Teoria de inversão 3×3:
  1. Calcular o determinante det A por expansão de Laplace.
  2. Formar a matriz de cofatores C (cada Cij=(-1)^i+j vezes o determinante da submatriz que sobra ao riscar linha i, coluna j).
  3. A adjunta é C^T e A^-1 = 1det A,C^T.
No nosso caso, A=[I]Gto E. Fazendo as contas (expandindo pela primeira linha, calculando cofatores etc.) a gente encontra
det A = -5, adj(A) = 0 & 0 & 5 -2& 3 & -1 -1&-1 & -3 ^T = 0 & 0 & -1 25 & -35 & 15 15 & 15 & 35 !cdot(-5)
Dividindo por det A=-5, fica
A^-1 = 0 & 0 & -1 25 & -35 & 15 15 & 15 & 35
As colunas dessa inversa são as coordenadas de vec e1,vec e2,vec e3 na base G.

Resposta

a) A matriz de mudança de base de G para E é
[I]Gto E = 2 & 1 & 3 1 & -1 & 2 -1& 0 & 0
b) Na base G, os vetores vec ei ficam:
vec e1 =0,vec g1+25,vec g2+15,vec g3, vec e2 =0,vec g1-35,vec g2+15,vec g3, vec e3 =-1,vec g1+15,vec g2+35,vec g3

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