Questão 1 (2,5 pontos).
Dada a matriz A=(cc1 & 0 -1 & 2), encontre a matriz X, sabendo que
A X^-1-8 A^2=02 x 2

Passo 1

Esse exercício pede pra gente achar a matriz X tal que A X^-1 - 8 A^2 = 02x2. O conteúdo é operações com matrizes, principalmente inversa de matriz, e a gente vai usar definição de multiplicação de matrizes e propriedades de inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2. Lembra que pra multiplicar matrizes a gente combina linhas de A com colunas de A.
A = 1 & 0 -1 & 2
A^2 = A cdot A = 1 & 0 -1 & 2 cdot 1 & 0 -1 & 2 = 1 & 0 -3 & 4

Passo 3

A equação dada é
A X^-1 - 8 A^2 = 02x2
isso implica que
A X^-1 = 8 A^2

Passo 4

Para isolar X^-1, multiplicamos à esquerda por A^-1. Como A é invertível, vem:
X^-1 = A^-1 cdot 8 A^2 = 8 A^-1 A^2 = 8 A
porque A^-1A = I.

Passo 5

Logo,
X = (8A)^-1 = tfrac18 A^-1
Então precisamos achar A^-1. O determinante de A é
det(A) = 1 cdot 2 - 0 cdot (-1) = 2
e a inversa é
A^-1 = tfrac12 2 & 0 1 & 1

Passo 6

Agora é só montar X:
X = tfrac18 A^-1 = tfrac18 cdot tfrac12 2 & 0 1 & 1 = tfrac116 2 & 0 1 & 1 = tfrac18 & 0 tfrac116 & tfrac116

Resposta

X = tfrac18 & 0 tfrac116 & tfrac116

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