Considere a esfera S centrada em C=(1,2,3) com raio 2 e a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=1-t \\\ z=4+t \end{array}\right.
(a) Mostre que a reta r é secante à esfera S.
(b) Encontre os pontos P e Q onde a reta intersecta a esfera.
(c) Calcule a área do triângulo C P Q, onde C é o centro da esfera.

Passo 1

O enunciado nos dá a esfera S\) de centro \(C=(1,2,3)\) e raio \(2\), e a reta \[r:\begin{cases} x=2+t,\\\ y=1-t,\\\ z=4+t. \end{cases}
Precisamos (a) mostrar que r\] intersecta \(S em dois pontos distintos (é secante), (b) encontrar esses pontos P e Q, e (c) calcular a área do triângulo CPQ.

Passo 2

Para achar onde a reta corta a esfera, substituímos o ponto genérico
X(t)=(2+t,\;1-t,\;4+t)
na equação \lVert X(t)-C\rVert^2=2^2. Temos
X(t)-C=(2+t-1,\;1-t-2,\;4+t-3)=(1+t,\;-1-t,\;1+t),
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\lVert X(t)-C\rVert^2=(1+t)^2+(-1-t)^2+(1+t)^2 =3\,(1+2t+t^2).
Igualando a 4
3(t^2+2t+1)=4 \quad\Longrightarrow\quad 3t^2+6t+3-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 3t^2+6t-1=0.
O discriminante é
\Delta =6^2 -4\cdot3\cdot(-1)=36+12=48>0,
então há duas soluções reais distintas: a reta é secante.

Passo 3

As raízes da equação 3t^2+6t-1=0 são
t_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{48}}{2\cdot3} =\frac{-6\pm4\sqrt3}{6} =\frac{-3\pm2\sqrt3}{3}.

Passo 4

Substituindo cada t_i em X(t) obtemos os pontos de interseção:
P=X\!\Bigl(\tfrac{-3+2\sqrt3}{3}\Bigr) ,\quad Q=X\!\Bigl(\tfrac{-3-2\sqrt3}{3}\Bigr).
Explicitamente,
P\Bigl(2+\tfrac{-3+2\sqrt3}{3},\,1-\tfrac{-3+2\sqrt3}{3},\,4+\tfrac{-3+2\sqrt3}{3}\Bigr),
Q\Bigl(2+\tfrac{-3-2\sqrt3}{3},\,1-\tfrac{-3-2\sqrt3}{3},\,4+\tfrac{-3-2\sqrt3}{3}\Bigr).
Note que para t=-1 a reta passa por C, logo P e Q são antipodais (extremidades de um diâmetro).

Passo 5

O triângulo CPQ tem dois lados de comprimento 2 (raios) e os vetores \vec{CP} e \vec{CQ} são colineares e opostos. A área vale
\text{área}=\frac12\bigl\lvert\vec{CP}\times\vec{CQ}\bigr\rvert=0á
pois o produto vetorial de vetores colineares é o vetor zero.

Resposta

(a) A reta é secante porque o discriminante da quadrática de interseção é positivo.
(b)
P=X\!\Bigl(\tfrac{-3+2\sqrt3}{3}\Bigr), \quad Q=X\!\Bigl(\tfrac{-3-2\sqrt3}{3}\Bigr).
(c) A área do triângulo CPQ é 0.

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