Dada a esfera S:(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=16, determine as equações das retas que passam pelo ponto P=(1,0,2) e são tangentes a S.

Passo 1

O enunciado dá a esfera
S:\,(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=16
cujo centro é C=(2,-1,3) e o raio é R=4. Queremos as retas que passam por P=(1,0,2) e tocam S. Para isso, usaremos o critério de que uma reta é tangente a uma esfera se, e somente se, a distância do centro da esfera à reta for igual ao raio.

Passo 2

Calculemos a distância entre o ponto P e o centro C:
\overline{PC} =\sqrt{(1-2)^{2}+(0+1)^{2}+(2-3)^{2}} =\sqrt{1+1+1} =\sqrt{3}\approx1{,}732.
Como \sqrt{3}<4, o ponto P está dentro da esfera.
Uma reta que passe por um ponto interior à esfera nunca atinge a superfície apenas num ponto (ela corta a esfera em dois pontos ou não a toca de modo tangencial). Logo, não existem retas reais que passem por P e sejam tangentes a S.

Resposta

Não existe nenhuma reta real que passe por P e seja tangente à esfera S.

Exercícios relacionados