Mostre que a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=1+3 t \\\ y=2-t \\\ z=-1+2 t\end{array}\right. é secante à esfera S: x^{2}+y^{2}+ z^{2}-2 x+4 y-6 z+5=0 e encontre os pontos de interseção.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\begin{cases} x=1+3t,\\\ y=2-t,\\\ z=-1+2t, \end{cases}
e a esfera
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+5=0.
Queremos verificar se há interseção (secção) e, em caso afirmativo, achar os valores de t correspondentes aos pontos de interseção.

Passo 2

Substituímos x=1+3t, y=2-t, z=-1+2t na equação de S. Isso gera
(1+3t)^{2}+(2-t)^{2}+(-1+2t)^{2}-2(1+3t)+4(2-t)-6(-1+2t)+5=0.

Passo 3

Expandindo cada termo, obtemos
\underbrace{9t^{2}+6t+1}_{(1+3t)^{2}} +\underbrace{t^{2}-4t+4}_{(2-t)^{2}} +\underbrace{4t^{2}-4t+1}_{(-1+2t)^{2}} +\underbrace{-2-6t}_{-2(1+3t)} +\underbrace{8-4t}_{4(2-t)} +\underbrace{6-12t}_{-6(-1+2t)} +5=0.
Somando coeficientes de t^{2}, de t e constantes, chega-se a
14t^{2}-24t+23=0.

Passo 4

Calculamos o discriminante da quadrática:
\Delta = (-24)^{2} - 4\cdot14\cdot23 = 576 - 1288 = -712.
Como \Delta<0, não há raízes reais para t.

Passo 5

O fato de a equação em t não ter solução real significa que não existem pontos da reta que satisfaçam a equação da esfera. Logo, a reta não intersecta a esfera.

Resposta

Não há pontos reais de interseção; a reta não é secante à esfera.

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