1. Determine a posição relativa entre a esfera S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y-
    2 z+5=0 e o plano \pi: 2 x-y+2 z-1=0.

Passo 1

O enunciado dá a esfera
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y-2z+5=0
e o plano
\pi: 2x - y + 2z - 1 = 0.
Queremos determinar a posição relativa entre S e \pi. Para isso vamos:
  1. Completar quadrados para achar o centro C e o raio r da esfera.
  2. Calcular a distância d de C até o plano \pi.
  3. Comparar d com r.

Passo 2

Completemos quadrados em S:
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9,\quad y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4,\quad z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Substituindo em x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y-2z+5=0 obtém-se
(x-3)^{2}-9 \;+\;(y+2)^{2}-4 \;+\;(z-1)^{2}-1 \;+\;5 = 0
\Longrightarrow (x-3)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2} = 9.
Logo o centro é
C = (3,\,-2,\;1)
e o raio é
r = \sqrt{9} = 3.

Passo 3

A distância de C=(3,-2,1) ao plano \pi:2x - y +2z -1=0 vale
d = \frac{\bigl|2\cdot3 -(-2) +2\cdot1 -1\bigr|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}} = \frac{|6+2+2-1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{9}{3} = 3.

Passo 4

Comparando, temos d=3 e r=3. Como d = r, o plano toca a esfera em exatamente um ponto, ou seja, é tangente à esfera.

Resposta

A esfera e o plano são tangentes.

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