1. Verifique se o plano \pi: x+y+z-3=0 é tangente, secante ou exterior à esfera S:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-1)^{2}=9.

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi: x+y+z-3=0 e a esfera
S: (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-1)^{2}=9.
O conteúdo envolve a posição relativa entre plano e esfera: para isso, vamos calcular a distância do centro da esfera ao plano e comparar com o raio.

Passo 2

Identificamos o centro e o raio da esfera S.
O centro é
C=(1,2,1)
e o raio é
r=3.

Passo 3

Usamos a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0:
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
No nosso caso, A=B=C=1, D=-3 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,1). Logo,
d = \frac{\bigl|1\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot1 - 3\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Comparamos d com r:
\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,577 < 3.
Como d<r, o plano corta a esfera em uma curva (círculo), ou seja, é secante.

Resposta

O plano \pi é secante à esfera S.

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