Considere uma esfera condutora de raio R e carga Q, em equilíbrio eletrostático. Sobre seu campo elétrico e sobre seu potencial elétrico, pode-se afirmar que:
a) O campo elétrico é nulo e o potencial elétrico é constante para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso do quadrado da distância para pontos no exterior.
b) A intensidade do campo elétrico é constante e o potencial nulo para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso do quadrado da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso da distância para pontos no exterior.
c) O campo elétrico é nulo e o potencial elétrico é constante para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso do quadrado da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso da distância para pontos no exterior.
d) A intensidade do campo elétrico é constante e o potencial nulo para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso do quadrado distância para pontos no exterior.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora de raio R e carga Q, em equilíbrio eletrostático, e apresenta quatro alternativas sobre o comportamento do campo elétrico e do potencial elétrico no interior e no exterior da esfera.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A esfera é condutora, tem raio R e carga total Q.
  • O sistema está em equilíbrio eletrostático (ou seja, as cargas não se movem mais).
    O que se pede: identificar qual alternativa (a, b, c ou d) descreve corretamente o campo elétrico e o potencial elétrico para pontos no interior ( r<R) e no exterior ( r>R) da esfera.

Passo 2

Propriedade física essencial de condutores em equilíbrio eletrostático: cargas livres se redistribuem até que o campo elétrico no interior do material condutor seja nulo. Explicação em palavras simples: se existisse um campo elétrico dentro do condutor, as cargas livres sentiríam força e continuariam a se mover, então isso não seria equilíbrio. Portanto, em equilíbrio eletrostático temos
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\quad\text{para } r<R.
Consequência imediata para o potencial: o campo é o gradiente negativo do potencial, \mathbf{E}=-\nabla V. Se \mathbf{E}=\mathbf{0} em toda a região interior, então \nabla V=\mathbf{0} ali, ou seja, o potencial é constante no interior da condutora.

Passo 3

Outra conclusão importante: em um condutor carregado em equilíbrio, toda a carga livre reside na superfície externa. Intuição: cargas de mesmo sinal se repelem e ficam na superfície. Formalmente, isso explica que, para uma superfície gaussiana completamente dentro do condutor (raio r<R), a carga encerrada é zero, o que via Lei de Gauss dá campo zero no interior. A Lei de Gauss, em forma integral, é
\oint_{\text{superf}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.

Passo 4

Cálculo do campo elétrico para r>R (fora da esfera) usando simetria esférica e Lei de Gauss. Escolho uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r>R. Por simetria o campo tem módulo E(r) radial e constante sobre essa superfície, então o fluxo é E(r)\cdot 4\pi r^2. A carga encerrada é a carga total Q (pois a carga está na superfície da esfera de raio R). Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Assim
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\quad\text{para } r>R.
Comentário didático: isso mostra que, para o exterior, a esfera condutora se comporta exatamente como se toda a carga estivesse concentrada num ponto no centro — o campo decai com o inverso do quadrado da distância.

Passo 5

Cálculo do potencial V(r) para r\ge R. Tomamos o potencial zero no infinito: V(\infty)=0. A relação entre campo e potencial radial é
V(r)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr',
onde \mathbf{l} segue radialmente. Substituindo E(r')=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r'^2} e integrando:
V(r)=-\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r'^2}\,dr'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\quad\text{para } r\ge R.
Portanto, o potencial no exterior decai como o inverso da distância 1/r. No interior ( r<R), como vimos em

Passo 6

V(r)=V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}\quad\text{para } r\le R.

Passo 7

Resumo dos resultados que acabamos de obter:
  • Para r<R (interior): \mathbf{E}=\mathbf{0} e V= constante (igual a V(R)).
  • Para r>R (exterior): E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2} (decai como 1/r^2) e V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r} (decai como 1/r).
    Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde exatamente a esse comportamento é a alternativa (c).

Resposta

c)

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