Considere uma esfera condutora de raio
e carga
, em equilíbrio eletrostático. Sobre seu campo elétrico e sobre seu potencial elétrico, pode-se afirmar que:
a) O campo elétrico é nulo e o potencial elétrico é constante para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso do quadrado da distância para pontos no exterior.
b) A intensidade do campo elétrico é constante e o potencial nulo para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso do quadrado da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso da distância para pontos no exterior.
c) O campo elétrico é nulo e o potencial elétrico é constante para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso do quadrado da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso da distância para pontos no exterior.
d) A intensidade do campo elétrico é constante e o potencial nulo para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso do quadrado distância para pontos no exterior.
a) O campo elétrico é nulo e o potencial elétrico é constante para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso do quadrado da distância para pontos no exterior.
b) A intensidade do campo elétrico é constante e o potencial nulo para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso do quadrado da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso da distância para pontos no exterior.
c) O campo elétrico é nulo e o potencial elétrico é constante para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso do quadrado da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso da distância para pontos no exterior.
d) A intensidade do campo elétrico é constante e o potencial nulo para pontos no interior, enquanto a intensidade do campo elétrico decai com o inverso da distância ao centro da esfera condutora e o potencial decai com o inverso do quadrado distância para pontos no exterior.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera condutora de raio
e carga
, em equilíbrio eletrostático, e apresenta quatro alternativas sobre o comportamento do campo elétrico e do potencial elétrico no interior e no exterior da esfera.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A esfera é condutora, tem raio
e carga total . - O sistema está em equilíbrio eletrostático (ou seja, as cargas não se movem mais).
O que se pede: identificar qual alternativa (a, b, c ou d) descreve corretamente o campo elétrico e o potencial elétrico para pontos no interior () e no exterior ( ) da esfera.
Passo 2
Propriedade física essencial de condutores em equilíbrio eletrostático: cargas livres se redistribuem até que o campo elétrico no interior do material condutor seja nulo. Explicação em palavras simples: se existisse um campo elétrico dentro do condutor, as cargas livres sentiríam força e continuariam a se mover, então isso não seria equilíbrio. Portanto, em equilíbrio eletrostático temos
Consequência imediata para o potencial: o campo é o gradiente negativo do potencial,
. Se
em toda a região interior, então
ali, ou seja, o potencial é constante no interior da condutora.
Passo 3
Outra conclusão importante: em um condutor carregado em equilíbrio, toda a carga livre reside na superfície externa. Intuição: cargas de mesmo sinal se repelem e ficam na superfície. Formalmente, isso explica que, para uma superfície gaussiana completamente dentro do condutor (raio
), a carga encerrada é zero, o que via Lei de Gauss dá campo zero no interior. A Lei de Gauss, em forma integral, é
Passo 4
Cálculo do campo elétrico para
(fora da esfera) usando simetria esférica e Lei de Gauss. Escolho uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio
. Por simetria o campo tem módulo
radial e constante sobre essa superfície, então o fluxo é
. A carga encerrada é a carga total
(pois a carga está na superfície da esfera de raio
). Aplicando Gauss:
Assim
Comentário didático: isso mostra que, para o exterior, a esfera condutora se comporta exatamente como se toda a carga estivesse concentrada num ponto no centro — o campo decai com o inverso do quadrado da distância.
Passo 5
Cálculo do potencial
para
. Tomamos o potencial zero no infinito:
. A relação entre campo e potencial radial é
onde
segue radialmente. Substituindo
e integrando:
Portanto, o potencial no exterior decai como o inverso da distância
. No interior (
), como vimos em
Passo 6
Passo 7
Resumo dos resultados que acabamos de obter:
- Para
(interior): e constante (igual a ). - Para
(exterior): (decai como ) e (decai como ).
Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde exatamente a esse comportamento é a alternativa (c).
Resposta
c)