Considere uma esfera condutora de raio R carregada com uma carga líquida +Q.
( 0 , 6 ) Escreva uma expressão para o potencial elétrico no exterior e no interior da esfera tomando o potencial como sendo nulo no centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora com raio e carga total . O exercício pede para escrevermos a expressão do potencial elétrico tanto fora quanto dentro da esfera, considerando que o potencial no centro da esfera é zero. Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma esfera condutora, a carga se distribui uniformemente na superfície. Fora da esfera, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Dentro da esfera, como é condutora, o campo elétrico é zero.

Passo 3

Campo Elétrico Fora da Esfera ( oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 ):
Usamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera. A Lei de Gauss nos diz que:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E = Q4pi varepsilon0 r^2
Para uma superfície gaussiana esférica de raio E = 0 para r < R , o campo elétrico é radial e de mesmo valor em toda a superfície, então:
Campo Elétrico Dentro da Esfera ( ):
Dentro de uma esfera condutora, o campo elétrico é zero:

Passo 4

Agora, vamos relacionar o campo elétrico com o potencial elétrico. Sabemos que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
E = -nabla V
Em coordenadas radiais, isso se traduz em:
E = -dVdr
Vamos integrar para encontrar .

Passo 5

Potencial Eleétrico Fora da Esfera ( -dVdr = Q4pi varepsilon0 r^2 implies dV = -Q4pi varepsilon0 r^2 dr ):
Usando V(r) = Q4pi varepsilon0 r + C :
V(r) = Q4pi varepsilon0 r para r >= R
Integrando:
-dVdr = 0 implies dV = 0 implies V(r) = constante
Precisamos determinar a constante de integração V(R) = Q4pi varepsilon0 R = V0 . Sabemos que o potencial tende a zero no infinito, então V(r) = Q4pi varepsilon0 R para r < R :
Potencial Elétrico Dentro da Esfera ( ):
Dentro da esfera, , então:
Vamos chamar essa constante de . Para encontrar , usamos a continuidade do potencial na superfície :
Portanto:

Resposta

O potencial elétrico V(r) = Q4pi varepsilon0 R & para r < R Q4pi varepsilon0 r & para r >= R é dado por:

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