Considere uma esfera condutora de raio
carregada com uma carga líquida
.
Escreva uma expressão para o potencial elétrico no exterior e no interior da esfera tomando o potencial como sendo nulo no centro da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora com raio
e carga total
. O exercício pede para escrevermos a expressão do potencial elétrico tanto fora quanto dentro da esfera, considerando que o potencial no centro da esfera é zero. Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma esfera condutora, a carga se distribui uniformemente na superfície. Fora da esfera, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Dentro da esfera, como é condutora, o campo elétrico é zero.
Passo 3
Campo Elétrico Fora da Esfera (
):
Usamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera. A Lei de Gauss nos diz que:
Para uma superfície gaussiana esférica de raio
, o campo elétrico
é radial e de mesmo valor em toda a superfície, então:
Campo Elétrico Dentro da Esfera (
):
Dentro de uma esfera condutora, o campo elétrico é zero:
Passo 4
Agora, vamos relacionar o campo elétrico com o potencial elétrico. Sabemos que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
Em coordenadas radiais, isso se traduz em:
Vamos integrar para encontrar
.
Passo 5
Potencial Eleétrico Fora da Esfera (
):
Usando
:
Integrando:
Precisamos determinar a constante de integração
. Sabemos que o potencial tende a zero no infinito, então
:
Potencial Elétrico Dentro da Esfera (
):
Dentro da esfera,
, então:
Vamos chamar essa constante de
. Para encontrar
, usamos a continuidade do potencial na superfície
:
Portanto:
Resposta
O potencial elétrico
é dado por: