Considere uma esfera condutora de raio R que se encontra isolada e em equilíbrio eletrostático. O potencial eletrostático na superfície dessa esfera é V_{0}.
a) Calcule o campo gerado por essa esfera em um ponto P genérico do espaço.
b) Calcule a auto-energia dessa esfera utilizando os seguintes procedimentos:
c) A partir da sua resposta no item anterior, calcule a auto-energia de uma esfera de carga Q=\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) V_{0} R. O que acontece no limite R \rightarrow 0 (carga puntiforme)?
i) integrando apropriadamente a densidade volumar de energia u_{E}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \vec{E}^{2}. Sugestão: Considere uma casca esférica de raio r e espessura d r.
ii) calculando a energia de um capacitor esférico com capacitância C_{e s f}=4 \pi \varepsilon_{0} R.
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera condutora isolada de raio R em equilíbrio eletrostático, cuja superfície está a potencial V_{0}. Pede-se:
a) o campo elétrico num ponto arbitrário P à distância r do centro;
b) a auto‐energia da esfera, i) integrando a densidade volumétrica de energia \tfrac12\varepsilon_{0}E^{2} e ii) usando o modelo de capacitor esférico de capacitância C_{\mathrm{esf}}=4\pi\varepsilon_{0}R;
c) escrever essa energia em função da carga Q=(4\pi\varepsilon_{0})V_{0}R e discutir o limite R\to0.
Conteúdos necessários: Lei de Gauss para obter E, definição de densidade de energia eletrostática e energia de capacitor.
Passo 2
Usando a Lei de Gauss para simetria esférica, a carga da esfera é
Q = 4\pi\varepsilon_{0}\,R\,V_{0}.
Para r<R, todo o excesso de carga reside na superfície, logo
A densidade volumétrica de energia é u_{E}=\tfrac12\varepsilon_{0}E^{2}. Integramos de r=R até r\to\infty:
U =\int_{V}\frac12\varepsilon_{0}E^{2}\,dV =\frac12\varepsilon_{0}\int_{R}^{\infty} \Bigl(\frac{V_{0}R}{r^{2}}\Bigr)^{2}\,4\pi r^{2}\,dr =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R^{2}\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}} =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R.
Passo 4
Modelando a esfera isolada como um capacitor de placa esférica imersa no infinito, sua capacitância é C_{\mathrm{esf}}=4\pi\varepsilon_{0}R. A energia armazenada é