Considere uma esfera condutora de raio R que se encontra isolada e em equilíbrio eletrostático. O potencial eletrostático na superfície dessa esfera é V_{0}.
a) Calcule o campo gerado por essa esfera em um ponto P genérico do espaço.
b) Calcule a auto-energia dessa esfera utilizando os seguintes procedimentos:
c) A partir da sua resposta no item anterior, calcule a auto-energia de uma esfera de carga Q=\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) V_{0} R. O que acontece no limite R \rightarrow 0 (carga puntiforme)?
i) integrando apropriadamente a densidade volumar de energia u_{E}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \vec{E}^{2}. Sugestão: Considere uma casca esférica de raio r e espessura d r.
ii) calculando a energia de um capacitor esférico com capacitância C_{e s f}=4 \pi \varepsilon_{0} R.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera condutora isolada de raio R em equilíbrio eletrostático, cuja superfície está a potencial V_{0}. Pede-se:
a) o campo elétrico num ponto arbitrário P à distância r do centro;
b) a auto‐energia da esfera, i) integrando a densidade volumétrica de energia \tfrac12\varepsilon_{0}E^{2} e ii) usando o modelo de capacitor esférico de capacitância C_{\mathrm{esf}}=4\pi\varepsilon_{0}R;
c) escrever essa energia em função da carga Q=(4\pi\varepsilon_{0})V_{0}R e discutir o limite R\to0.
Conteúdos necessários: Lei de Gauss para obter E, definição de densidade de energia eletrostática e energia de capacitor.

Passo 2

Usando a Lei de Gauss para simetria esférica, a carga da esfera é
Q = 4\pi\varepsilon_{0}\,R\,V_{0}.
Para r<R, todo o excesso de carga reside na superfície, logo
E(r)=0\quad(r<R).
Para r\ge R, a superfície gaussiana de raio r
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} =\frac{V_{0}\,R}{r^{2}} \quad(r\ge R),
na direção radial para fora.

Passo 3

A densidade volumétrica de energia é u_{E}=\tfrac12\varepsilon_{0}E^{2}. Integramos de r=R até r\to\infty:
U =\int_{V}\frac12\varepsilon_{0}E^{2}\,dV =\frac12\varepsilon_{0}\int_{R}^{\infty} \Bigl(\frac{V_{0}R}{r^{2}}\Bigr)^{2}\,4\pi r^{2}\,dr =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R^{2}\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}} =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R.

Passo 4

Modelando a esfera isolada como um capacitor de placa esférica imersa no infinito, sua capacitância é C_{\mathrm{esf}}=4\pi\varepsilon_{0}R. A energia armazenada é
U=\frac12\,C_{\mathrm{esf}}\,V_{0}^{2} =\frac12\,(4\pi\varepsilon_{0}R)\,V_{0}^{2} =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R,
o que coincide com o resultado obtido por integração.

Passo 5

Substituindo V_{0}=\tfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R} em U=2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R, obtemos
U =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}.
No limite R\to0 (carga puntiforme), U\to\infty: a auto‐energia de uma carga pontual diverge.

Resposta

a)
E(r)= \begin{cases} 0,&r<R,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\;\hat r =\dfrac{V_{0}R}{r^{2}}\;\hat r,&r\ge R. \end{cases}
b.i)
U=\displaystyle 2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R.
b.ii)
U=\frac12\,C_{\mathrm{esf}}\,V_{0}^{2} =2\pi\varepsilon_{0}V_{0}^{2}R.
c)
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R},
que diverge ( U\to\infty) quando R\to0.]

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