Considere a esfera S subset R^3 dada pela equação x^2+y^2+z^2=16.
Usando coordenadas esféricas, obtenha uma parametrização varphi(phi, theta)=(x, y, z) dos pontos de S e calcule o campo de vetores normais partial varphipartial phi times partial varphipartial theta;

Passo 1

O enunciado pede para parametrizarmos a esfera Scolon x^2+y^2+z^2=16 usando coordenadas esféricas e então calcularmos o campo vetorial normal dado por
partial varphipartial phitimes partial varphipartial theta
Para isso precisamos (1) lembrar a forma da parametrização esférica de raio constante, (2) derivar em relação a phi e theta e (3) aplicar a definição de produto vetorial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos o raio rho=4, o ângulo polar phiin[0,pi] e o azimutal thetain[0,2pi). Assim a parametrização é
varphi(phi,theta) = l(4sinphicostheta,;4sinphisintheta,;4cosphir)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial varphipartial phi = l(4cosphicostheta,;4cosphisintheta,;-4sinphir),
partial varphipartial theta = l(-4sinphisintheta,;4sinphicostheta,;0r)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto vetorial
partial varphipartial phitimes partial varphipartial theta = i&j&k 4cosphicostheta & 4cosphisintheta & -4sinphi -4sinphisintheta & 4sinphicostheta & 0
Calculando componente a componente obtemos
partial varphipartial phitimes partial varphipartial theta = l(16sin^2phicostheta,;16sin^2phisintheta,;16sinphicosphir)

Passo 5

Fatorando 16sinphi e reconhecendo a parametrização original, podemos escrever
partial varphipartial phitimes partial varphipartial theta =16sinphil(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphir) =4cdot 4sinphi,r
onde r=(sinphicostheta,sinphisintheta,cosphi) é o vetor radial unitário.

Resposta

varphi(phi,theta)=(4sinphicostheta,,4sinphisintheta,,4cosphi)
partial varphipartial phitimes partial varphipartial theta=(16sin^2phicostheta,,16sin^2phisintheta,,16sinphicosphi)

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