Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
g(x, y)=(x+y) e^x-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
g(x,y) = (x+y),e^,x - y
O conteúdo que vamos usar inclui definição de derivada parcial, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Usando regra do produto em
g(x,y) = (x+y),e^,x - y,
temos
partial gpartial x = partial(x+y)partial x,e^,x-y + (x+y),partial(e^,x-y)partial x = 1cdot e^,x-y + (x+y),e^,x-ycdot1 = (x+y+1),e^,x-y

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Novamente pela regra do produto:
partial gpartial y = partial(x+y)partial y,e^,x-y + (x+y),partial(e^,x-y)partial y = 1cdot e^,x-y + (x+y),e^,x-ycdot(-1) = (1 - x - y),e^,x-y

Passo 4

Calcular a derivada parcial de segunda ordem partial^2 gpartial x^2. Derivando
partial g/partial x = (x+y+1)e^,x-y em relação a x:
partial^2 gpartial x^2 = partial(x+y+1)partial x,e^,x-y + (x+y+1),partial(e^,x-y)partial x = 1cdot e^,x-y + (x+y+1),e^,x-y = (x+y+2),e^,x-y

Passo 5

Calcular a derivada mista partial^2 gpartial x,partial y. Derivando
partial g/partial x = (x+y+1)e^,x-y em relação a y:
partial^2 gpartial x,partial y = partial(x+y+1)partial y,e^,x-y + (x+y+1),partial(e^,x-y)partial y = 1cdot e^,x-y + (x+y+1),e^,x-ycdot(-1) = -,(x+y),e^,x-y

Passo 6

Calcular a derivada parcial de segunda ordem partial^2 gpartial y^2. Derivando
partial g/partial y = (1 - x - y)e^,x-y em relação a y:
partial^2 gpartial y^2 = partial(1 - x - y)partial y,e^,x-y + (1 - x - y),partial(e^,x-y)partial y = (-1),e^,x-y + (1 - x - y),e^,x-ycdot(-1) = (x+y-2),e^,x-y

Resposta

partial^2 gpartial x^2 = (x+y+2),e^,x-y, partial^2 gpartial x,partial y = -,(x+y),e^,x-y, partial^2 gpartial y^2 = (x+y-2),e^,x-y

Exercícios relacionados