Obtenha as derivadas parciais de terceira ordem indicadas, para cada função a seguir:
f(x, y)=x^2 e^-2 y, fx y x e fy x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem
fxyx e fyxy
da função
f(x,y)=x^2e^-2y
Vamos aplicar as regras de derivação parcial, usando a regra do produto quando diferenciamos em x (tratando e^-2y como constante) e a regra da cadeia quando diferenciamos em y.

Passo 2

Primeiro calculamos
fx, a derivada de f em relação a x.
Como f(x,y)=x^2cdot e^-2y e e^-2y é constante para derivação em x, pela regra do produto:
fx = 2x,e^-2y

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y para obter fxy.
Temos fx=2x,e^-2y e aplicamos a regra da cadeia em e^-2y:
fxy =2x;ddyl(e^-2yr) =2xcdot(-2)e^-2y =-4x,e^-2y

Passo 4

Em seguida, derivamos fxy em relação a x para obter fxyx.
Como fxy=-4x,e^-2y e e^-2y é constante em relação a x:
fxyx =ddxl(-4x,e^-2yr) =-4,e^-2y

Passo 5

Agora vamos pela outra ordem: primeiro calculamos
fy, a derivada de f em relação a y.
Com f(x,y)=x^2e^-2y, aplicamos a regra da cadeia:
fy =x^2;ddyl(e^-2yr) =x^2cdot(-2)e^-2y =-2x^2e^-2y

Passo 6

Derivamos fy em relação a x para obter fyx.
Temos fy=-2x^2e^-2y e e^-2y é constante em x:
fyx =ddxl(-2x^2e^-2yr) =-4x,e^-2y

Passo 7

Por fim, derivamos fyx em relação a y para obter fyxy.
Como fyx=-4x,e^-2y:
fyxy =-4x;ddyl(e^-2yr) =-4xcdot(-2)e^-2y =8x,e^-2y

Resposta

fxyx(x,y)=-4e^-2y
fyxy(x,y)=8x,e^-2y

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