Obtenha as derivadas parciais de terceira ordem indicadas, para cada função a seguir:
e
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de terceira ordem
e
da função
da função
Vamos aplicar as regras de derivação parcial, usando a regra do produto quando diferenciamos em
(tratando
como constante) e a regra da cadeia quando diferenciamos em
.
Passo 2
Primeiro calculamos
, a derivada de
em relação a
.
Como e
é constante para derivação em
, pela regra do produto:
Como
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
para obter
.
Temos e aplicamos a regra da cadeia em
:
Temos
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
para obter
.
Como e
é constante em relação a
:
Como
Passo 5
Agora vamos pela outra ordem: primeiro calculamos
, a derivada de
em relação a
.
Com , aplicamos a regra da cadeia:
Com
Passo 6
Derivamos
em relação a
para obter
.
Temos e
é constante em
:
Temos
Passo 7
Por fim, derivamos
em relação a
para obter
.
Como :
Como