(3,0 pts) Um tubo de aço, com 5,0 \mathrm{~cm} de diâmetro interno e 7,6 \mathrm{~cm} de diâmetro externo, tendo k=15,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, está recoberto por uma camada isolante de espessura e=4,0 \mathrm{~cm} e k=0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. Um gás, aquecido a T_{g}=330,0^{\circ} \mathrm{C}, h_{g}=400,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, flui no interior do tubo. A superficie externa do isolante está exposta ao ar mais frio a T_{a r}=30,0^{\circ} \mathrm{C} com h_{a r}=60,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Calcule a perda de calor do tubo para o ar ao longo de 10,0 \mathrm{~m} de comprimento do tubo.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo cilíndrico composto:
– Diâmetro interno do aço D_{i}=5{,}0\mathrm{~cm} e diâmetro externo do aço D_{s}=7{,}6\mathrm{~cm}.
– Aço com condutividade térmica k_{s}=15{,}0\mathrm{~W/mK}.
– Camada isolante de espessura e=4{,}0\mathrm{~cm} e condutividade k_{i}=0{,}2\mathrm{~W/mK}.
– Gás interior a T_{g}=330{,}0\,^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente convectivo h_{g}=400{,}0\mathrm{~W/m^{2}K}.
– Ar exterior a T_{a}=30{,}0\,^{\circ}\mathrm{C} com h_{a}=60{,}0\mathrm{~W/m^{2}K}.
Queremos a potência térmica perdida ao longo de L=10{,}0\mathrm{~m}. Usaremos o modelo de resistências térmicas em série para um cilindro: convecção interna, condução no aço, condução no isolante e convecção externa.

Passo 2

Convertendo diâmetros em raios (metria):
r_{i}=\frac{D_{i}}{2}= \frac{5{,}0\mathrm{~cm}}{2}=2{,}5\mathrm{~cm}=0{,}025\mathrm{~m},
r_{s}=\frac{D_{s}}{2}= \frac{7{,}6\mathrm{~cm}}{2}=3{,}8\mathrm{~cm}=0{,}038\mathrm{~m},
r_{e}=r_{s}+e=0{,}038\mathrm{~m}+0{,}040\mathrm{~m}=0{,}078\mathrm{~m}.

Passo 3

As resistências térmicas (para comprimento L) são:
convecção interna
R_{\text{conv,i}}=\frac{1}{h_{g}\,2\pi\,r_{i}\,L},
condução no aço
R_{\text{cond,s}}=\frac{\ln\bigl(r_{s}/r_{i}\bigr)}{2\pi\,k_{s}\,L},
condução no isolante
R_{\text{cond,i}}=\frac{\ln\bigl(r_{e}/r_{s}\bigr)}{2\pi\,k_{i}\,L},
convecção externa
R_{\text{conv,e}}=\frac{1}{h_{a}\,2\pi\,r_{e}\,L}.
A resistência total é
R_{\text{tot}}=R_{\text{conv,i}}+R_{\text{cond,s}}+R_{\text{cond,i}}+R_{\text{conv,e}},
e a perda de calor
\dot Q=\frac{T_{g}-T_{a}}{R_{\text{tot}}}.

Passo 4

Substituindo valores numéricos L=10{,}0\mathrm{~m}:
R_{\text{conv,i}} =\frac{1}{400\cdot2\pi\cdot0{,}025\cdot10} \approx1{,}59\times10^{-3}\mathrm{~K/W},
R_{\text{cond,s}} =\frac{\ln(0{,}038/0{,}025)}{2\pi\cdot15\cdot10} \approx4{,}44\times10^{-4}\mathrm{~K/W},
R_{\text{cond,i}} =\frac{\ln(0{,}078/0{,}038)}{2\pi\cdot0{,}2\cdot10} \approx5{,}72\times10^{-2}\mathrm{~K/W},
R_{\text{conv,e}} =\frac{1}{60\cdot2\pi\cdot0{,}078\cdot10} \approx3{,}40\times10^{-3}\mathrm{~K/W}.
Somando,
R_{\text{tot}}\approx1{,}59\times10^{-3} +4{,}44\times10^{-4} +5{,}72\times10^{-2} +3{,}40\times10^{-3} \approx6{,}26\times10^{-2}\mathrm{~K/W}.
Então
\dot Q =\frac{T_{g}-T_{a}}{R_{\text{tot}}} =\frac{330-30}{6{,}26\times10^{-2}} \approx4{,}79\times10^{3}\mathrm{~W}.

Resposta

A perda de calor ao longo de 10{,}0\mathrm{~m} do tubo é de aproximadamente
\dot Q\approx4{,}79\times10^{3}\mathrm{~W}\quad(4{,}79\text{ kW}).

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