Verifique se a matriz
A=[ccc 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 ]
é diagonalizável e determine D e P.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Temos que verificar se a matriz
A = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2
é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes D (a matriz diagonal) e P (a matriz de vetores próprios). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e diagonalização.

Passo 2

Encontrando os Autovalores de A
Para verificar se A é diagonalizável, primeiro precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são soluções da equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Subtraímos lambda da diagonal de A :
A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 2 cdot [-1 cdot (2 - lambda) - 0 cdot 1] + 1 cdot [-1 cdot 2 - 0 cdot (3 - lambda)]
Simplificando:
= (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] - 2[-(2 - lambda)] + 1[-2]
= (1 - lambda)[(6 - 5lambda + lambda^2) - 2] + 2(2 - lambda) - 2
= (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 4 - 2lambda - 2
= (lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda(lambda^2 - 5lambda + 4) + 2 - 2lambda
= lambda^2 - 5lambda + 4 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda + 2 - 2lambda
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
A equação característica é então:
-lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Agora, encontramos as raízes dessa equação. Testando possíveis autovalores lambda = 1, 2, 3 :
Para lambda = 1 :
1 - 6 + 11 - 6 = 0 (Verdadeiro)
Para lambda = 2 :
8 - 24 + 22 - 6 = 0 (Verdadeiro)
Para lambda = 3 :
27 - 54 + 33 - 6 = 0 (Verdadeiro)
Portanto, os autovalores são lambda1 = 1 , lambda2 = 2 e lambda3 = 3 .

Passo 3

Encontrando os Autovetores de [A)
Para cada autovalor encontrado, vamos determinar os autovetores correspondentes resolvendo .
Para :
Resolvendo o sistema:
Podemos observar que a segunda equação é igual à primeira. Vamos expressar :
Escolhemos , então . Como é livre, vamos escolher :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo nas primeiras equações:
Escolhemos , então :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, (z = x]. Substituindo na terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Escolhemos , então e :

Passo 4

Montando as Matrizes D e P
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos construir as matrizes D e P .
A matriz D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
A matriz P é formada pelos autovetores correspondentes aos autovalores:
P = 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 2

Passo 5

Verificando a Diagonalização
Para que A seja diagonalizável, a matriz P precisa ser invertível, ou seja, seus vetores próprios devem ser linearmente independentes.
Calculando o determinante de P :
det(P) = 1 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 2 - (-2) cdot 1) + 2 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot (-2))
= 1 cdot (-1) - 1 cdot (2 + 2) + 2 cdot (1)
= -1 - 4 + 2 = -3 neq 0
Como o determinante de P é diferente de zero, P é invertível e, portanto, A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. As matrizes de diagonalização são:
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
P = 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 2

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