Verifique se a matriz
é diagonalizável e determine
D e
P .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Temos que verificar se a matriz
é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes
D (a matriz diagonal) e
P (a matriz de vetores próprios). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e diagonalização.
Passo 2
Encontrando os Autovalores de
A
Para verificar se
A é diagonalizável, primeiro precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde
I é a matriz identidade e
lambda representa os autovalores.
Subtraímos
lambda da diagonal de
A :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
A equação característica é então:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Agora, encontramos as raízes dessa equação. Testando possíveis autovalores
lambda = 1, 2, 3 :
Para
lambda = 1 :
Para
lambda = 2 :
Para
lambda = 3 :
Portanto, os autovalores são
lambda1 = 1 ,
lambda2 = 2 e
lambda3 = 3 .
Passo 3
Encontrando os Autovetores de [A)
Para cada autovalor encontrado, vamos determinar os autovetores correspondentes resolvendo
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
Podemos observar que a segunda equação é igual à primeira. Vamos expressar :
Escolhemos
, então
. Como
é livre, vamos escolher
:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Substituindo nas primeiras equações:
Escolhemos
, então
:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, (z = x]. Substituindo na terceira equação:
Substituindo
e
na primeira equação:
Escolhemos
, então
e
:
Passo 4
Montando as Matrizes
D e
P
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos construir as matrizes
D e
P .
A matriz
D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
A matriz
P é formada pelos autovetores correspondentes aos autovalores:
Passo 5
Verificando a Diagonalização
Para que
A seja diagonalizável, a matriz
P precisa ser invertível, ou seja, seus vetores próprios devem ser linearmente independentes.
Calculando o determinante de
P :
Como o determinante de
P é diferente de zero,
P é invertível e, portanto,
A é diagonalizável.
Resposta
A matriz
A é diagonalizável. As matrizes de diagonalização são: