Elétrons são ejetados de uma superfície metálica com velocidade de até 4,60 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando luz de comprimento de onda de 625 nm é usada. (a) Sabendo que o elétron-volt é uma unidade de energia obtida quando um elétron (carga 1,602 \times 10^{-19} \mathrm{C} ) é acelerado por uma diferença de potencial de 1 volt, mostre que h c=1240 \mathrm{eV} . \mathrm{nm}, onde c=2,998 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} é a velocidade da luz no vácuo e 1 \mathrm{~nm}=10^{-9} \mathrm{~m}. (b) Qual é a função trabalho na superfície? Dê sua resposta em joules e em eV. (c) Qual é a frequência de corte para esta superfície?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá dados numéricos. Vou listar claramente cada pergunta e os dados que vamos usar:
  • Perguntas:
    1. Mostrar que \;hc = 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
    2. Determinar a função trabalho (work function) da superfície, em joules e em eV.
    3. Determinar a frequência de corte (frequência mínima para ejeção de elétrons) para a superfície.
  • Dados fornecidos no enunciado e constantes que usaremos (todos em formato matemático):
    \;v_{\max}=4{,}60\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} (velocidade máxima dos elétrons)\n
    \;\lambda=625\\ \mathrm{nm} (comprimento de onda da luz)\n
    \;e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (carga do elétron = 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J})\n
    \;c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (velocidade da luz)\n
    \;1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}\n
    Vou também usar a constante de Planck \;h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e a massa do elétron \;m_{e}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

(a) Queremos calcular \;hc e expressá-lo em \mathrm{eV\cdot nm}. Primeiro calculamos \;hc em unidade SI ( \mathrm{J\cdot m}) e depois convertemos de joules para electron-volts e de metros para nanômetros.
  • Produto em SI:
hc = \bigl(6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}\bigr)\bigl(2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\bigr).
Calculemos passo a passo:
hc = 6{,}62607015\times10^{-34}\times 2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{J\cdot m} = 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Converter joules para electron-volts: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
hc = \frac{1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} = 1{,}23984193\times10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m}.
  • Converter metros para nanômetros: 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}. Multiplicando por 10^{9}:
hc = 1{,}23984193\times10^{-6}\times10^{9}\\ \mathrm{eV\cdot nm} = 1239{,}84193\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados do enunciado) obtemos
hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Isso confirma a relação pedida.

Passo 3

Explicação da física que vamos usar para as partes (b) e (c), de forma didática e prática.
  • A energia de um fóton (fóton de luz) é dada por
E_{\text{fóton}} = h\nu,ó
onde \nu é a frequência da luz. Como \nu = \dfrac{c}{\lambda}, podemos escrever
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda}.ó
Aqui:
  • \;E_{\text{fóton}}ó é a energia do fóton (em J ou eV),
  • \;h é a constante de Planck ( \mathrm{J\cdot s}),
  • \;c é a velocidade da luz ( \mathrm{m/s}),
  • \;\lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m} ou \mathrm{nm}).
  • No efeito fotoelétrico, a conservação de energia para o elétron ejetado (energia máxima cinética) é:
K_{\max} = h\nu - \varphi,
onde:
  • \;K_{\max}=\dfrac{1}{2}m_{e}v_{\max}^{2} é a energia cinética máxima dos elétrons ejetados (em J),
  • \;\varphi é a função trabalho da superfície (work function, energia mínima necessária para arrancar um elétron, em J).
Assim,
\varphi = h\nu - K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{1}{2}m_{e}v_{\max}^{2}.
Vamos calcular cada termo numericamente.

Passo 4

Calcular a energia cinética máxima dos elétrons K_{\max}.
  • Fórmula:
K_{\max}=\frac{1}{2}m_{e}v_{\max}^{2}.
  • Dados numéricos em notação matemática:
    \;m_{e}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, \;v_{\max}=4{,}60\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
  • Primeiro v_{\max}^{2}:
v_{\max}^{2}=(4{,}60\times10^{5})^{2}=4{,}60^{2}\times10^{10}=21{,}16\times10^{10}=2{,}116\times10^{11}\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}).
  • Agora K_{\max}:
K_{\max}=\tfrac{1}{2}\times 9{,}10938356\times10^{-31}\times 2{,}116\times10^{11}\\ \mathrm{J}.
Calculemos:
K_{\max}=9{,}10938356\times10^{-31}\times 1{,}058\times10^{11} =9{,}631\times10^{-20}\\ \mathrm{J}\quad(\text{aprox.}).
  • Converter K_{\max} para eV (dividindo por 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}):
K_{\max}=\frac{9{,}631\times10^{-20}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 0{,}601\\ \mathrm{eV}.
Resumo deste passo: \;K_{\max}\approx 9{,}63\times10^{-20}\\ \mathrm{J} \approx 0{,}601\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Calcular a energia do fóton incidente E_{\text{fóton}}ó usando \;hc em \mathrm{eV\cdot nm} obtido no Passo 2 — isso simplifica bastante.
  • Usando a relação já encontrada:
E_{\text{fóton}} \;(\mathrm{eV})=\frac{hc\\ (\mathrm{eV\cdot nm})}{\lambda\\ (\mathrm{nm})}.ó
  • Substituindo números:
E_{\text{fóton}}=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{625\\ \mathrm{nm}}=1{,}984\\ \mathrm{eV}.ó
  • Converter para joules:
E_{\text{fóton}} = 1{,}984\times 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 3{,}18\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Portanto \;E_{\text{fóton}}\approx 1{,}984\\ \mathrm{eV}\approx 3{,}18\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó

Passo 6

Calcular a função trabalho \varphi subtraindo a energia cinética máxima da energia do fóton.
  • Em eV (mais direto):
\varphi\\ (\mathrm{eV}) = E_{\text{fóton}}(\mathrm{eV}) - K_{\max}(\mathrm{eV}) = 1{,}984\\ \mathrm{eV} - 0{,}601\\ \mathrm{eV} = 1{,}383\\ \mathrm{eV}.ó
Arredondando para três algarismos significativos:
\varphi \approx 1{,}38\\ \mathrm{eV}.
  • Em joules:
\varphi (\mathrm{J}) = 1{,}383\times 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 2{,}22\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Portanto a função trabalho é aproximadamente \;2{,}22\times10^{-19}\\ \mathrm{J} ou \;1{,}38\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Calcular a frequência de corte \nu_{0}. Definição: a frequência de corte é a frequência para a qual a energia do fóton é exatamente igual à função trabalho, isto é h\nu_{0}=\varphi. Assim
\nu_{0}=\frac{\varphi}{h}.
Usamos \varphi em joules calculada no Passo 6 e h em \mathrm{J\cdot s}.
  • Substituindo:
\nu_{0}=\frac{2{,}2156\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}} \approx 3{,}34\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
(Usei \varphi\approx 2{,}2156\times10^{-19}\\ \mathrm{J} como o valor calculado; arredondando para três dígitos temos \nu_{0}\approx 3{,}34\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.)
Interpretação: qualquer luz com frequência \nu<\nu_{0} não tem energia suficiente para arrancar elétrons dessa superfície; luz com \nu>\nu_{0} pode ejetar elétrons com energia cinética máxima K_{\max}=h\nu-\varphi.

Resposta

(a) hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
(b) \varphi \approx 2{,}22\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 1{,}38\\ \mathrm{eV}.
(c) \nu_{0} \approx 3{,}34\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

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