A equação abaixo descreve o efeito Doppler da luz,
\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{v / c}{\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}=\gamma \frac{v}{c}
(a) O deslocamento relativo do comprimento de onda (\Delta \lambda) / \lambda do quasar 3C273 medido foi de 0,158. Calcule a velocidade de recessão deste objeto. (b) Por meio da lei de Hubble, \mathrm{v}=\mathrm{H}_{0} d, onde \mathrm{H}_{0}=100 \mathrm{~h} \mathrm{~km} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{Mpc}^{-1} é a constante de Hubble, h=0,71 é a incerteza no valor de \mathrm{H}_{0} obtido de acordo com os dados do WMAP, calcule a distância d até este quasar.

Passo 1

O enunciado dá a relação relativística do efeito Doppler para a luz:
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\gamma\frac{v}{c},
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
Pede-se:
(a) calcular a velocidade de recessão v do quasar 3C273 quando o deslocamento relativo do comprimento de onda é \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=0,158.
(b) usando a lei de Hubble v=H_{0}d com H_{0}=100\,h\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}} e h=0,71, calcular a distância d até o quasar.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=0,158 e h=0,71. Não há figura nem outros dados.

Passo 2

Vamos simplificar a equação definindo \beta\equiv v/c. Assim a relação fica
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\gamma\beta=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}.
Agora explico a ideia: queremos isolar \beta (e depois v). Isso é álgebra básica: elevando ao quadrado e resolvendo para \beta^{2} obtemos uma expressão direta. Não se assuste — faço passo a passo.

Passo 3

Partimos de
z \equiv \frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
z^{2}=\frac{\beta^{2}}{1-\beta^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (1-\beta^{2}) e reorganizando:
z^{2}(1-\beta^{2})=\beta^{2}\quad\Rightarrow\quad z^{2}-z^{2}\beta^{2}=\beta^{2}.
Juntando os termos em \beta^{2}:
z^{2}=\beta^{2}(1+z^{2})\quad\Rightarrow\quad \beta^{2}=\frac{z^{2}}{1+z^{2}}.
Portanto
\beta=\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}.
Essa é uma fórmula prática: dado o deslocamento relativo z, encontramos diretamente \beta=v/c.

Passo 4

Agora aplicamos numericamente com z=\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=0,158. Primeiro calculamos z^{2}:
z^{2}=(0,158)^{2}=0,024964.
Em seguida
1+z^{2}=1,024964,\qquad \sqrt{1+z^{2}}\approx1,012405.
Logo
\beta=\frac{0,158}{1,012405}\approx0,1561.
Explicação física rápida: para velocidades pequenas comparadas a c a aproximação não-relativística z\approx\beta funciona, mas aqui já vemos uma pequena correção relativística (diferença de alguns por cento). Agora obtemos v.

Passo 5

Multiplicamos \beta por c. Usamos a constante da velocidade da luz em unidades compatíveis com a constante de Hubble:
c=3,00\times10^{5}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}.
Então
v=\beta c\approx0,1561\times(3,00\times10^{5}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}})\approx4,68\times10^{4}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}.
Eu arredondei com três algarismos significativos, coerente com z=0,158.

Passo 6

Agora a parte (b): pela lei de Hubble v=H_{0}d. Primeiro calculamos H_{0} com h=0,71:
H_{0}=100\,h\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}}=100\times0,71\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}}=71\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}}.
Isolando d:
d=\frac{v}{H_{0}}=\frac{4,68\times10^{4}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}}{71\\ \mathrm{km\\ s^{-1}\\ Mpc^{-1}}}.
Fazendo a divisão:
d\approx6,60\times10^{2}\\ \mathrm{Mpc}\quad(\text{aproximadamente }660\\ \mathrm{Mpc}).
Comentário motivador: pronto! Você conseguiu transformar o deslocamento em velocidade relativística e depois em distância cosmológica — nada mágico, só álgebra e cuidado com unidades.

Resposta

(a) v\approx4,68\times10^{4}\\ \mathrm{km\\ s^{-1}}
(b) d\approx6,60\times10^{2}\\ \mathrm{Mpc}

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