A equação abaixo descreve o efeito Doppler da luz,
(a) O deslocamento relativo do comprimento de onda
do quasar 3C273 medido foi de 0,158. Calcule a velocidade de recessão deste objeto. (b) Por meio da lei de Hubble,
d, onde
é a constante de Hubble,
é a incerteza no valor de
obtido de acordo com os dados do WMAP, calcule a distância
até este quasar.
Passo 1
O enunciado dá a relação relativística do efeito Doppler para a luz:
onde
.
Pede-se:
(a) calcular a velocidade de recessão do quasar 3C273 quando o deslocamento relativo do comprimento de onda é
.
(b) usando a lei de Hubble com
e
, calcular a distância
até o quasar.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: e
. Não há figura nem outros dados.
Pede-se:
(a) calcular a velocidade de recessão
(b) usando a lei de Hubble
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Passo 2
Vamos simplificar a equação definindo
. Assim a relação fica
Agora explico a ideia: queremos isolar
(e depois
). Isso é álgebra básica: elevando ao quadrado e resolvendo para
obtemos uma expressão direta. Não se assuste — faço passo a passo.
Passo 3
Partimos de
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando:
Juntando os termos em
:
Portanto
Essa é uma fórmula prática: dado o deslocamento relativo
, encontramos diretamente
.
Passo 4
Agora aplicamos numericamente com
. Primeiro calculamos
:
Em seguida
Logo
Explicação física rápida: para velocidades pequenas comparadas a
a aproximação não-relativística
funciona, mas aqui já vemos uma pequena correção relativística (diferença de alguns por cento). Agora obtemos
.
Passo 5
Multiplicamos
por
. Usamos a constante da velocidade da luz em unidades compatíveis com a constante de Hubble:
Então
Eu arredondei com três algarismos significativos, coerente com
.
Passo 6
Agora a parte (b): pela lei de Hubble
. Primeiro calculamos
com
:
Isolando
:
Fazendo a divisão:
Comentário motivador: pronto! Você conseguiu transformar o deslocamento em velocidade relativística e depois em distância cosmológica — nada mágico, só álgebra e cuidado com unidades.
Resposta
(a)
(b)
(b)