Questão 3. Dois corpos de 2,0 \mathrm{~kg}, \mathrm{~A} e B, sofrem uma colisio. As velocidades autes da colisio sĩo \vec{v}_{A}=(5 \hat{i}+15 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s} e \vec{v}_{B}=(-10 \hat{i}+2,0 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Após a colision, \overrightarrow{\mathrm{c}}_{2}=(-2,0 \hat{i}+10 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine (a) a velo-cidade final de B e (b) a variação da energia cinética total.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão entre dois corpos A e B, ambos de massa 2,0\\ \mathrm{kg}. Antes da colisão, \vec{v}_{A}=(5\,\hat{i}+15\,\hat{j})\\ \mathrm{m/s} e \vec{v}_{B}=(-10\,\hat{i}+2,0\,\hat{j})\\ \mathrm{m/s}.
Após, sabe-se que a velocidade de A é \vec{v}_{A}'=(-2,0\,\hat{i}+10\,\hat{j})\\ \mathrm{m/s}.
(a) usamos conservação do momento linear para achar \vec{v}_{B}'.
(b) calculamos a variação da energia cinética total \Delta K.

Passo 2

Calcular o momento linear total inicial:
\vec{p}_{\rm ini} = m_{A}\,\vec{v}_{A} + m_{B}\,\vec{v}_{B} = 2,0\,(5\,\hat{i}+15\,\hat{j}) + 2,0\,(-10\,\hat{i}+2,0\,\hat{j})
= (10\,\hat{i}+30\,\hat{j}) + (-20\,\hat{i}+4\,\hat{j}) = (-10\,\hat{i}+34\,\hat{j})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 3

Pelo princípio de conservação do momento linear, \vec{p}_{\rm ini} = \vec{p}_{\rm fim}, onde \vec{p}_{\rm fim}=m_{A}\,\vec{v}_{A}'+m_{B}\,\vec{v}_{B}'.
Logo
(-10\,\hat{i}+34\,\hat{j}) =2,0\,(-2,0\,\hat{i}+10\,\hat{j}) + 2,0\,\vec{v}_{B}'.
Isto é
(-10\,\hat{i}+34\,\hat{j}) =(-4\,\hat{i}+20\,\hat{j}) + 2,0\,\vec{v}_{B}',
2,0\,\vec{v}_{B}' = (-10+4)\,\hat{i} + (34-20)\,\hat{j} = (-6\,\hat{i}+14\,\hat{j}),
\vec{v}_{B}' = \bigl(-3\,\hat{i}+7\,\hat{j}\bigr)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a energia cinética total inicial:
K_{\rm ini} =\tfrac12\,m_{A}\,\lvert\vec{v}_{A}\rvert^{2} +\tfrac12\,m_{B}\,\lvert\vec{v}_{B}\rvert^{2}.
Aqui \lvert\vec{v}_{A}\rvert^{2}=5^{2}+15^{2}=25+225=250, \lvert\vec{v}_{B}\rvert^{2}=(-10)^{2}+2^{2}=100+4=104.
Então
K_{\rm ini} =\tfrac12\cdot2,0\cdot250 + \tfrac12\cdot2,0\cdot104 =250 + 104 = 354\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a energia cinética total final:
K_{\rm fim} =\tfrac12\,m_{A}\,\lvert\vec{v}_{A}'\rvert^{2} +\tfrac12\,m_{B}\,\lvert\vec{v}_{B}'\rvert^{2}.
Aqui \lvert\vec{v}_{A}'\rvert^{2}=(-2,0)^{2}+10^{2}=4+100=104, \lvert\vec{v}_{B}'\rvert^{2}=(-3)^{2}+7^{2}=9+49=58.
Logo
K_{\rm fim} =\tfrac12\cdot2,0\cdot104 + \tfrac12\cdot2,0\cdot58 =104 + 58 = 162\\ \mathrm{J}.

Passo 6

A variação da energia cinética total é
\Delta K = K_{\rm fim} - K_{\rm ini} =162 - 354 = -192\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) \vec{v}_{B}' = (-3\,\hat{i}+7\,\hat{j})\\ \mathrm{m/s}.
(b) \Delta K = -192\\ \mathrm{J}.

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