Questão 1. Uma partícula de 3,0 \mathrm{~kg} tem coordenadas x y(-1,20 \mathrm{~m}, 1,00 \mathrm{~m}) e uma partícula de 5,0 \mathrm{~kg} tem coordenadas x y(0,60 \mathrm{~m},-0,75 \mathrm{~m}). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada (a) x e (b) y deve ser posicionada uma terceira partícula de 1,0 \mathrm{~kg} para que o centro de massa do sistema de trés partículas tenha coordenadas (-0,50 \mathrm{~m},-0,50 \mathrm{~m}) ?

Passo 1

O enunciado dá três partículas no plano horizontal com massas e posições conhecidas, e pede as coordenadas (x_3,y_3) de uma terceira partícula de massa m_3=1,0;kg de modo que o centro de massa do sistema fique em (-0,50\;\text{m},-0,50\;\text{m}). O conteúdo usado é a definição de centro de massa de um sistema de partículas:
x_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}, \quad y_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i y_i}{\sum_i m_i}.

Passo 2

Para a coordenada x:
A massa total é
M = 3,0 + 5,0 + 1,0 = 9,0\;\text{kg}.
A condição x_{\text{cm}}=-0,50
-0,50 = \frac{3,0\cdot(-1,20) + 5,0\cdot0,60 + 1,0\cdot x_3}{9,0} = \frac{-3,60 + 3,00 + x_3}{9,0}.
Multiplicando por 9,0:
-4,50 = -3,60 + 3,00 + x_3 = -0,60 + x_3.
Isolando x_3:
x_3 = -4,50 + 0,60 = -3,90\;\text{m}.

Passo 3

Para a coordenada y:
Usando y_{\text{cm}}=-0,50
-0,50 = \frac{3,0\cdot1,00 + 5,0\cdot(-0,75) + 1,0\cdot y_3}{9,0} = \frac{3,00 - 3,75 + y_3}{9,0}.
Multiplicando por 9,0:
-4,50 = 3,00 - 3,75 + y_3 = -0,75 + y_3.
Isolando y_3:
y_3 = -4,50 + 0,75 = -3,75\;\text{m}.

Resposta

x_3 = -3,90\;\text{m} y_3 = -3,75\;\text{m}

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