Considere uma esfera isolante de raio b com um buraco concêntrico de raio a carregado com una densidade volumétrica uniforme rho
Calcule o campo elétrico para r>b.

Passo 1

Beleza, manda ver: a questão diz que temos uma esfera isolante de raio de densidade volumétrica uniforme , mas com um “buraco” concêntrico de raio . A gente quer o campo elétrico em qualquer ponto onde a distância ao centro seja maior que .
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática, simetria esférica.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a carga total “efetiva” da casca esférica (a esfera toda menos o buraco).
  2. Aplicar a Lei de Gauss para ver que fora da esfera o campo é como se toda essa carga estivesse concentrada no centro.

Passo 2

Primeiro, cálculo do volume da região carregada (a casca entre Vesfera = 43pi R^3 e Vcasca = 43pi b^3 ;-;43pi a^3 ;=;4pi3,(b^3 - a^3) ).
  • Volume de uma esfera de raio :
  • Volume da casca = :

Passo 3

Agora a carga total contida ali, Q = rho , Vcasca = rho ,4pi3,(b^3 - a^3) , = densidade × volume:

Passo 4

Com a carga total em mãos, aplicamos a Lei de Gauss. Para Phi = oint Ecdot d A = E(r);l(4pi r^2r) escolhemos uma superfície esférica de raio Phi = Qrm encvarepsilon0 Longrightarrow E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 . Pela simetria, é radial e constante em módulo nessa esfera, então:
E a Lei de Gauss diz

Passo 5

Isolando E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2 = 14pivarepsilon0, rho,tfrac4pi3(b^3 - a^3)r^2 = rho,(b^3 - a^3)3varepsilon0,r^2 :

Resposta

Para boxed% E(r) ;=; rho,(b^3 - a^3)3varepsilon0,r^2;hat r , o campo elétrico é
ou, em módulo, .

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