Considere a esfera lambda: x^2+y^2+z^2+x-6 y+5 z=12. Qual o centro C de lambda?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma equação que representa uma esfera: x^2 + y^2 + z^2 + x - 6y + 5z = 12 . Nosso objetivo é encontrar o centro C dessa esfera. Para isso, vamos usar um método chamado completar o quadrado, que nos ajuda a reescrever a equação da esfera de uma forma que facilita identificar o centro.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x , y e z separadamente. Ficaria assim:
x^2 + x + y^2 - 6y + z^2 + 5z = 12
Isso facilita a gente trabalhar com cada variável individualmente.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a variável x . A ideia é transformar x^2 + x em uma expressão que seja um quadrado perfeito. Para isso, pegamos o coeficiente de x , que é 1, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(12)^2 = 14
Então, adicionamos e subtraímos 14 :
x^2 + x + 14 - 14
Isso nos dá:
(x + 12)^2 - 14

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a variável y . Temos y^2 - 6y . Pegamos o coeficiente de y , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(-62)^2 = 9
Então, adicionamos e subtraímos 9:
y^2 - 6y + 9 - 9
Isso resulta em:
(y - 3)^2 - 9

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para z . A expressão é z^2 + 5z . Pegamos o coeficiente de z , que é 5, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(52)^2 = 254
Então, adicionamos e subtraímos 254 :
z^2 + 5z + 254 - 254
Isso dá:
(z + 52)^2 - 254

Resposta

Após completar os quadrados, a equação da esfera fica:
(x + 12)^2 + (y - 3)^2 + (z + 52)^2 = 12 + 14 + 9 + 254 = 12 + 14 + 9 + 254 = 1 + 2 + 36 + 254 = 644 = 16
Então, a forma padrão da esfera é:
(x + 12)^2 + (y - 3)^2 + (z + 52)^2 = 16
O centro C da esfera é o ponto ( -12, 3, -52 ).

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