Considere uma esfera de massa m e raio r descendo uma rampa de ângulo theta com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura h, após a esfera ter descido uma distância d, determine:
A velocidade angular da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera com massa $ m $ e raio $ r $ que está descendo por uma rampa inclinada com um ângulo $ \theta $ em relação à horizontal. A força de atrito estático entre a esfera e a rampa está fazendo com que ela role sem escorregar. A esfera começa do repouso a uma altura $ h $ e, após descer uma distância $ d $, queremos descobrir qual é a velocidade angular dela.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e conservação de energia. Precisamos entender como a energia potencial se transforma em energia cinética translacional e rotacional à medida que a esfera desce a rampa.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia potencial que a esfera tem no ponto inicial. Como ela está a uma altura $ h $, a energia potencial $ E_p $ é dada por:
h
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Ao descer a rampa, a esfera perde essa energia potencial e ganha energia cinética. A energia cinética total $ E_k $ da esfera que está rolando é a soma da energia cinética translacional (de movimento linear) e da energia cinética rotacional (de rotação).
A energia cinética translacional é:
Ek
E a energia cinética rotacional para uma esfera sólida é:
Ektrans = 12 m v^2
onde $ I $ é o momento de inércia da esfera e $ \omega $ é a velocidade angular.

Passo 4

Para uma esfera sólida, o momento de inércia $ I $ é:
I
Além disso, como a esfera está rolando sem escorregar, a velocidade linear $ v $ está relacionada à velocidade angular $ \omega $ pela relação:
I = 25 m r^2

Passo 5

Agora, vamos aplicar a conservação de energia. A energia potencial inicial se transforma na energia cinética total:
m cdot g cdot h = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Substituindo $ I $ e a relação entre $ v $ e $ \omega $:
I

Passo 6

Simplificando a equação:
m cdot g cdot h = 12 m v^2 + 12 cdot 25 m v^2
m cdot g cdot h = 12 m v^2 + 15 m v^2
m cdot g cdot h = ( 12 + 15 ) m v^2
m cdot g cdot h = 710 m v^2

Passo 7

Agora, vamos isolar $ v^2 $:
v^2
E, tirando a raiz quadrada:
v^2 = 107 g h

Passo 8

Lembrando que queremos a velocidade angular $ \omega $, e sabemos que $ v = \omega r $, podemos resolver para $ \omega $:
omega

Resposta

A velocidade angular da esfera após descer a distância $ d $ é:
d

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