Considere uma esfera de massa
e raio
descendo uma rampa de ângulo
com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura
, após a esfera ter descido uma distância
, determine:
A velocidade angular da esfera.
A velocidade angular da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera com massa $ m $ e raio $ r $ que está descendo por uma rampa inclinada com um ângulo $ \theta $ em relação à horizontal. A força de atrito estático entre a esfera e a rampa está fazendo com que ela role sem escorregar. A esfera começa do repouso a uma altura $ h $ e, após descer uma distância $ d $, queremos descobrir qual é a velocidade angular dela.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e conservação de energia. Precisamos entender como a energia potencial se transforma em energia cinética translacional e rotacional à medida que a esfera desce a rampa.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia potencial que a esfera tem no ponto inicial. Como ela está a uma altura $ h $, a energia potencial $ E_p $ é dada por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Ao descer a rampa, a esfera perde essa energia potencial e ganha energia cinética. A energia cinética total $ E_k $ da esfera que está rolando é a soma da energia cinética translacional (de movimento linear) e da energia cinética rotacional (de rotação).
A energia cinética translacional é:
E a energia cinética rotacional para uma esfera sólida é:
onde $ I $ é o momento de inércia da esfera e $ \omega $ é a velocidade angular.
Passo 4
Para uma esfera sólida, o momento de inércia $ I $ é:
Além disso, como a esfera está rolando sem escorregar, a velocidade linear $ v $ está relacionada à velocidade angular $ \omega $ pela relação:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a conservação de energia. A energia potencial inicial se transforma na energia cinética total:
Substituindo $ I $ e a relação entre $ v $ e $ \omega $:
Passo 6
Simplificando a equação:
Passo 7
Agora, vamos isolar $ v^2 $:
E, tirando a raiz quadrada:
Passo 8
Lembrando que queremos a velocidade angular $ \omega $, e sabemos que $ v = \omega r $, podemos resolver para $ \omega $:
Resposta
A velocidade angular da esfera após descer a distância $ d $ é: