Considere uma esfera de raio unitário centrada na origem de um sistemas de coordenadas
. Seja
um pentágono regular inscrito na esfera e contido no plano
. Determine a área da região contida na esfera cuja projeção com respeito à terceira coordenada coincide com a região delimitada por
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região do espaço da superfície da esfera unitária cuja projeção ortogonal ao eixo z coincide com o interior de um pentágono regular inscrito no círculo de raio 1 no plano xy. O conteúdo é cálculo de área de superfície via projeção, e vamos precisar: (a) expressar a esfera em coordenadas cartesianas como gráfico de funções ±√(1−x²−y²), (b) usar fórmula de elemento de área dS em função de dx
dy e © integrar sobre a região do pentágono.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, a esfera vale z=±√(1−x²−y²). Para um gráfico z=f(x,y) a área de superfície é dS=√(1+f_x²+f_y²),dxdy. No nosso caso f_x=−x/z e f_y=−y/z, então 1+f_x²+f_y²=1/z². Logo cada ramo (superior ou inferior) contribui com dS=dx
dy/|z|. A região na esfera que projeta no pentágono contém dois ramos (z>0 e z<0). Assim a área total é
onde P é o pentágono regular inscrito no círculo de raio 1.
Passo 3
Como o integrando só depende de r=√(x²+y²), usamos coordenadas polares e dividimos P em 5 triângulos isósceles de ângulo central 2π/5. Num desses triângulos θ varia de −π/5 a π/5 e o raio máximo até a aresta é R(θ)=a/\cosθ, com a apótema a=\cos(π/5). Assim
$$A=2\cdot5\int_{-\pi/5}{\pi/5}\int_{0}{a/\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}},dr,d\theta.
$$ Fazendo primeiro a integral em r,
com R=a/\cosθ. Logo
$$A=10\int_{0}{\pi/5}\bigl[1-\sqrt{1-\tfrac{a2}{\cos^2\theta}}\bigr]d\theta
=10\int_{0}{\pi/5}\Bigl[1-\frac{\sqrt{\cos2\theta-a^2}}{\cos\theta}\Bigr]d\theta.
$$
Passo 4
As duas partes separam-se em
Com mudanças de variável trigonométricas e uso da integral padrão
acha-se
$$I=\frac{\pi}{2}\bigl(1-\cos(\pi/5)\bigr).
$$ Substituindo em A,
Como
, obtemos final_answer