Considere a esfera S
dada pela equação
Calcule o fluxo do campo
ao longo de
, ou seja, calcule a integral de superfície
, considerando o campo de vetores normais que aponta para fora de
.
Calcule o fluxo do campo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera
definida pela equação
, que representa uma esfera de raio 4 no espaço tridimensional
. O objetivo é calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo de campo vetorial e, especialmente, o Teorema da Divergência, que nos ajuda a simplificar o cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo
mede a quantidade de campo passando pela superfície
. Calcular essa integral diretamente exigiria parametrizar a esfera e resolver a integral de superfície, o que pode ser complicado. Felizmente, podemos usar o Teorema da Divergência para transformar essa integral de superfície em uma integral de volume mais simples.
Passo 3
O Teorema da Divergência afirma que:
onde
é o volume limitado pela superfície
, e
é a divergência do campo
. Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de
.
Passo 4
Calculando a divergência de
:
Substituindo os componentes de
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de volume:
Isso significa que estamos calculando o volume da esfera
. A fórmula para o volume de uma esfera de raio
é:
No nosso caso,
, então:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.