Considere a esfera S subset R^3 dada pela equação x^2+y^2+z^2=16
Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(x, y,-z) ao longo de S, ou seja, calcule a integral de superfície integralegral duplaS F d S, considerando o campo de vetores normais que aponta para fora de S.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera S definida pela equação x^2 + y^2 + z^2 = 16 , que representa uma esfera de raio 4 no espaço tridimensional R^3 . O objetivo é calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, -z) através da superfície S . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo de campo vetorial e, especialmente, o Teorema da Divergência, que nos ajuda a simplificar o cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo integral duplaS F cdot dS mede a quantidade de campo passando pela superfície S . Calcular essa integral diretamente exigiria parametrizar a esfera e resolver a integral de superfície, o que pode ser complicado. Felizmente, podemos usar o Teorema da Divergência para transformar essa integral de superfície em uma integral de volume mais simples.

Passo 3

O Teorema da Divergência afirma que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
onde V é o volume limitado pela superfície S , e nabla cdot F é a divergência do campo F . Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de F .

Passo 4

Calculando a divergência de F :
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Substituindo os componentes de F :
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial (-z)partial z = 1 + 1 - 1 = 1
Então, nabla cdot F = 1 .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de volume:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 1 , dV
Isso significa que estamos calculando o volume da esfera S . A fórmula para o volume de uma esfera de raio r é:
V = 43 pi r^3
No nosso caso, r = 4 , então:
V = 43 pi (4)^3 = 43 pi times 64 = 2563 pi

Resposta

O fluxo do campo F através da superfície S é 2563 pi .

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