Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de a série converge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como aplicar esse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série da forma , se o limite
existe, então:
Se L < 1 , a série converge.
Se L > 1 , a série diverge.
Se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Identificamos que an = n^2 x^n2^n . Vamos calcular an+1an :
Agora, calculamos o limite quando n tende a infinito:
L = limn to infty | (n+1)^2 x2 n^2 | = limn to infty | n^2 + 2n + 12 n^2 cdot x | = | 12 x |
Passo 4
Para que a série convirja, precisamos que L < 1 :
| 12 x | < 1 implies |x| < 2
Isso nos dá o raio de convergência R = 2 .
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 2 , ou seja, -2 < x < 2 . Mas é importante verificar o que acontece nos extremos x = -2 e x = 2 .