Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=0^infty n^2 x^n2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=0^infty n^2 x^n2^n
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de x a série converge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como aplicar esse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série da forma sum an , se o limite
L = limn to infty | an+1an |
existe, então:
  • Se L < 1 , a série converge.
  • Se L > 1 , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificamos que an = n^2 x^n2^n . Vamos calcular an+1an :
an+1an = (n+1)^2 x^n+1 / 2^n+1n^2 x^n / 2^n = (n+1)^2 x2 n^2
Agora, calculamos o limite quando n tende a infinito:
L = limn to infty | (n+1)^2 x2 n^2 | = limn to infty | n^2 + 2n + 12 n^2 cdot x | = | 12 x |

Passo 4

Para que a série convirja, precisamos que L < 1 :
| 12 x | < 1 implies |x| < 2
Isso nos dá o raio de convergência R = 2 .

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 2 , ou seja, -2 < x < 2 . Mas é importante verificar o que acontece nos extremos x = -2 e x = 2 .
  • Para x = 2 :
    A série fica:
sumn=0^infty n^2 cdot 2^n2^n = sumn=0^infty n^2
Sabemos que a série sum n^2 diverge.
  • Para x = -2 :
    A série fica:
sumn=0^infty n^2 cdot (-2)^n2^n = sumn=0^infty n^2 (-1)^n
Essa é uma série alternada, mas o termo geral n^2 não tende a zero, então a série também diverge.
Portanto, os extremos não estão incluídos no intervalo de convergência.

Resposta

O raio de convergência é R = 2 e o intervalo de convergência é (-2, 2) .

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