Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
Beleza! A gente tem que descobrir o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Vamos usar teoria de séries de potências e alguns testes de convergência pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa raio de convergência. Ele indica até onde os valores de fazem a série convergir. Para encontrar esse raio, geralmente usamos o Teste da Razão.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: pegamos o limite do valor absoluto de quando vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge. Igual a 1, a gente não consegue concluir.
No nosso caso, , então:
Passo 4
Vamos simplificar esse limite. Expandindo o denominador:
(n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2
Então, o limite fica:
limn to infty n^2 + 1n^2 + 2n + 2 cdot |x|
Passo 5
Agora, dividimos o numerador e o denominador por n^2 :
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que para |x| < 1 , a série converge. Precisamos verificar o que acontece nos pontos x = 1 e x = -1 .
Passo 8
Para x = 1 :
A série se torna:
sumn=0^infty 1n^2 + 1
Essa é uma série p com p = 2 , que converge porque p > 1 .
Para x = -1 :
A série se torna:
sumn=0^infty (-1)^nn^2 + 1
Aqui, temos uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, ela converge porque os termos diminuem e tendem a zero.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1, , 1] .