Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=0^infty x^nn^2+1

Passo 1

Beleza! A gente tem que descobrir o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty x^nn^2+1
Vamos usar teoria de séries de potências e alguns testes de convergência pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa raio de convergência. Ele indica até onde os valores de x fazem a série convergir. Para encontrar esse raio, geralmente usamos o Teste da Razão.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: pegamos o limite do valor absoluto de an+1an quando n vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge. Igual a 1, a gente não consegue concluir.
No nosso caso, an = 1n^2 + 1 , então:
limn to infty | an+1an | = limn to infty n^2 + 1(n+1)^2 + 1 cdot |x|

Passo 4

Vamos simplificar esse limite. Expandindo o denominador:
(n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2
Então, o limite fica:
limn to infty n^2 + 1n^2 + 2n + 2 cdot |x|

Passo 5

Agora, dividimos o numerador e o denominador por n^2 :
limn to infty 1 + 1n^21 + 2n + 2n^2 cdot |x| = 1 + 01 + 0 + 0 cdot |x| = |x|

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que para |x| < 1 , a série converge. Precisamos verificar o que acontece nos pontos x = 1 e x = -1 .

Passo 8

Para x = 1 :
A série se torna:
sumn=0^infty 1n^2 + 1
Essa é uma série p com p = 2 , que converge porque p > 1 .
Para x = -1 :
A série se torna:
sumn=0^infty (-1)^nn^2 + 1
Aqui, temos uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, ela converge porque os termos diminuem e tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1, , 1] .

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