Considere a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=6. Determine o plano que tangencia a esfera no ponto P=(1,1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=6
e pede o plano que é tangente a essa esfera no ponto P=(1,1,2).
Conteúdo principal: superfícies implícitas e uso do gradiente para obter o vetor normal ao plano tangente.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-6.
O gradiente de F é o vetor normal à superfície em cada ponto:
\nabla F(x,y,z) = (2x,\,2y,\,2z).
Em P=(1,1,2) temos
\nabla F(1,1,2) = (2\cdot1,\,2\cdot1,\,2\cdot2) = (2,\,2,\,4).

Passo 3

A equação geral do plano tangente a uma superfície implícita F(x,y,z)=0 em P=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) \cdot \bigl((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\bigr) = 0.
Substituindo \nabla F(1,1,2)=(2,2,4) e P=(1,1,2), obtemos
2(x-1) + 2(y-1) + 4(z-2) = 0.

Passo 4

Agora simplificamos a equação:
2x - 2 + 2y - 2 + 4z - 8 = 0
2x + 2y + 4z -12 = 0
Dividindo tudo por 2:
x + y + 2z - 6 = 0.

Resposta

A equação do plano tangente é
x + y + 2z = 6.

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