Julgue a veracidade das afirmações abaixo, assinalando V para verdadeiro ou F para falso. Justifique sua resposta!
( ) As retas r e s de equações
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\\ y=t, t \in \mathbb{R} \\\ z=3-t \end{array} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=3+t \\\ y=1-t, t \in \mathbb{R} \\\ z=2-2 t \end{array}\right.\right.
formam um ângulo \theta=\frac{\pi}{6}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e pede o ângulo entre elas. O conteúdo é produto escalar de vetores diretores e fórmula do cosseno do ângulo. Vamos extrair os vetores diretores e aplicar

Passo 2

Para a reta r temos parámetro t e
r:\quad x=1+2t,\;y=t,\;z=3-t,
logo o vetor diretor é
\vec{a} = (2,\,1,\,-1).
Para a reta s tomamos parámetro u e
s:\quad x=3+u,\;y=1-u,\;z=2-2u,
logo o vetor diretor é
\vec{b} = (1,\,-1,\,-2).

Passo 3

A fórmula para o ângulo \theta entre dois vetores é
\cos\theta = \frac{\bigl|\vec{a}\cdot\vec{b}\bigr|}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-2) = 2 - 1 + 2 = 3,
\|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}, \quad \|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}.
Então
\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{\pi}{3}.

Passo 5

O ângulo entre as retas é \pi/3, não \pi/6. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

F

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