Seja (An) sequência de eventos no mesmo espaço de probabilidade. Calcule P(lim sup An) nos seguintes casos:
P(An)=1n, para todo n, considerando os eventos An mutuamente independentes.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é: temos uma sequência de eventos Pl(limsupntoinfty Anr) num mesmo espaço de probabilidade, cada um com , e eles são todos independentes. A pergunta é achar
O conteúdo que vamos usar é o Lema de Borel–Cantelli, especialmente a segunda parte, que fala de séries divergentes e independência. A gente vai precisar:
  1. Entender o que é ;
  2. Verificar a soma ;
  3. Aplicar o Lema de Borel–Cantelli.

Passo 2

Primeiro, o que é limsupntoinfty An ;=; capk=1^infty;cupn=k^infty An ? Por definição:
Isso significa “o conjunto de resultados que ocorrem em infinitos ”. Se em infinitos índices o evento acontece, o ponto está em .

Passo 3

Agora, vamos olhar a soma das probabilidades:
sumn=1^infty P(An) =sumn=1^infty 1n
Essa é a famosa série harmônica, que diverge (vai para infinito). Ou seja,
.

Passo 4

O Lema de Borel–Cantelli (segunda parte) diz: se Pl(limsupntoinftyAnr)=1 e os são independentes, então
É exatamente o nosso caso: série harmônica diverge e temos independência.

Resposta

Pl(limsupntoinfty Anr)=1

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