Seja
sequência de eventos no mesmo espaço de probabilidade. Calcule
nos seguintes casos:
, para todo
, considerando os eventos
mutuamente independentes.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é: temos uma sequência de eventos
num mesmo espaço de probabilidade, cada um com
, e eles são todos independentes. A pergunta é achar
O conteúdo que vamos usar é o Lema de Borel–Cantelli, especialmente a segunda parte, que fala de séries divergentes e independência. A gente vai precisar:
- Entender o que é
; - Verificar a soma
; - Aplicar o Lema de Borel–Cantelli.
Passo 2
Primeiro, o que é
? Por definição:
Isso significa “o conjunto de resultados que ocorrem em infinitos
”. Se em infinitos índices o evento
acontece, o ponto está em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar a soma das probabilidades:
Essa é a famosa série harmônica, que diverge (vai para infinito). Ou seja,
.
Passo 4
O Lema de Borel–Cantelli (segunda parte) diz: se
e os
são independentes, então
É exatamente o nosso caso: série harmônica diverge e temos independência.