Considere o espaço
. Defina apropriadamente as operações de soma e produto por escalar. Liste suas propriedades e forneça exemplos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre o espaço
. O conteúdo envolve as operações de soma de vetores e produto por escalar em álgebra linear. Para resolver, precisamos definir como somamos dois vetores em
e como multiplicamos um vetor por um número real (escalar). Além disso, vamos listar as propriedades dessas operações e fornecer exemplos para esclarecer cada definição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a operação de soma de vetores em
. Se temos dois vetores
e
, a soma
é realizada componente a componente da seguinte maneira:
Exemplo:
Se e
, então:
Se
Passo 3
Agora, vamos definir a operação de produto por escalar. Se temos um vetor
e um escalar
, o produto
é realizado multiplicando cada componente do vetor pelo escalar:
Exemplo:
Se e
, então:
Se
Passo 4
Vamos listar as propriedades das operações de soma e produto por escalar em
:
- Comutatividade da Soma:
A ordem dos vetores não altera a soma.
Exemplo:
Com e
:
Com
- Associatividade da Soma:
A forma como agrupamos os vetores não altera a soma.
Exemplo:
Com ,
e
:
Com
- Elemento Neutro da Soma (Vetor Zero):
Existe um vetortal que para todo vetor :
Exemplo:
Com :
Com
- Elemento Inverso da Soma:
Para todo vetor, existe um vetor tal que:
Exemplo:
Com :
Com
- Distributividade do Escalar em Relação à Soma de Vetores:
Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois somar.
Exemplo:
Com ,
e
:
Com
- Distributividade do Escalar em Relação à Soma de Escalares:
A soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma dos produtos de cada escalar pelo vetor.
Exemplo:
Com ,
e
:
Com
- Associatividade do Produto por Escalar:
A ordem de multiplicação de escalares não altera o resultado final.
Exemplo:
Com ,
e
:
Com
- Elemento Neutro do Produto por Escalar:
Multiplicar qualquer vetor por 1 resulta no próprio vetor.
Exemplo:
Com :
Com
Resposta
As operações de soma e produto por escalar no espaço
são definidas, respectivamente, pela soma componente a componente dos vetores e pela multiplicação de cada componente por um número real. Essas operações satisfazem propriedades fundamentais como comutatividade e associatividade da soma, existência de um vetor zero e de inversos aditivos, além das propriedades distributivas em relação à soma de vetores e de escalares, e associação no produto por escalar. Por exemplo, somando os vetores
e
obtemos
, e multiplicando o vetor
por
, resultado em
.