Considere o espaço R^2. Defina apropriadamente as operações de soma e produto por escalar. Liste suas propriedades e forneça exemplos.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre o espaço R^2. O conteúdo envolve as operações de soma de vetores e produto por escalar em álgebra linear. Para resolver, precisamos definir como somamos dois vetores em R^2 e como multiplicamos um vetor por um número real (escalar). Além disso, vamos listar as propriedades dessas operações e fornecer exemplos para esclarecer cada definição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a operação de soma de vetores em R^2. Se temos dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2), a soma u + v é realizada componente a componente da seguinte maneira:
u + v = (u1 + v1, , u2 + v2)
Exemplo:
Se u = (1, 2) e v = (3, 4), então:
u + v = (1 + 3, , 2 + 4) = (4, , 6)

Passo 3

Agora, vamos definir a operação de produto por escalar. Se temos um vetor u = (u1, u2) e um escalar k in R, o produto k cdot u é realizado multiplicando cada componente do vetor pelo escalar:
k cdot u = (k cdot u1, , k cdot u2)
Exemplo:
Se u = (2, 3) e k = 5, então:
5 cdot u = (5 cdot 2, , 5 cdot 3) = (10, , 15)

Passo 4

Vamos listar as propriedades das operações de soma e produto por escalar em R^2:
  1. Comutatividade da Soma:
    A ordem dos vetores não altera a soma.
u + v = v + u
Exemplo:
Com u = (1, 2) e v = (3, 4):
u + v = (4, 6) = v + u
  1. Associatividade da Soma:
    A forma como agrupamos os vetores não altera a soma.
(u + v) + w = u + (v + w)
Exemplo:
Com u = (1, 2), v = (3, 4) e w = (5, 6):
(u + v) + w = (4, 6) + (5, 6) = (9, 12)
u + (v + w) = (1, 2) + (8, 10) = (9, 12)
  1. Elemento Neutro da Soma (Vetor Zero):
    Existe um vetor 0 = (0, 0) tal que para todo vetor u:
u + 0 = u
Exemplo:
Com u = (1, 2):
u + 0 = (1 + 0, 2 + 0) = (1, 2)
  1. Elemento Inverso da Soma:
    Para todo vetor u, existe um vetor -u = (-u1, -u2) tal que:
u + (-u) = 0
Exemplo:
Com u = (1, 2):
u + (-u) = (1 + (-1), , 2 + (-2)) = (0, 0)
  1. Distributividade do Escalar em Relação à Soma de Vetores:
    Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois somar.
k cdot (u + v) = k cdot u + k cdot v
Exemplo:
Com k = 2, u = (1, 2) e v = (3, 4):
2 cdot (u + v) = 2 cdot (4, 6) = (8, 12)
2 cdot u + 2 cdot v = (2, 4) + (6, 8) = (8, 12)
  1. Distributividade do Escalar em Relação à Soma de Escalares:
    A soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma dos produtos de cada escalar pelo vetor.
(k + m) cdot u = k cdot u + m cdot u
Exemplo:
Com k = 2, m = 3 e u = (1, 2):
(2 + 3) cdot u = 5 cdot (1, 2) = (5, 10)
2 cdot u + 3 cdot u = (2, 4) + (3, 6) = (5, 10)
  1. Associatividade do Produto por Escalar:
    A ordem de multiplicação de escalares não altera o resultado final.
k cdot (m cdot u) = (k cdot m) cdot u
Exemplo:
Com k = 2, m = 3 e u = (1, 2):
2 cdot (3 cdot u) = 2 cdot (3, 6) = (6, 12)
(2 cdot 3) cdot u = 6 cdot (1, 2) = (6, 12)
  1. Elemento Neutro do Produto por Escalar:
    Multiplicar qualquer vetor por 1 resulta no próprio vetor.
1 cdot u = u
Exemplo:
Com u = (1, 2):
1 cdot u = (1, 2)

Resposta

As operações de soma e produto por escalar no espaço R^2 são definidas, respectivamente, pela soma componente a componente dos vetores e pela multiplicação de cada componente por um número real. Essas operações satisfazem propriedades fundamentais como comutatividade e associatividade da soma, existência de um vetor zero e de inversos aditivos, além das propriedades distributivas em relação à soma de vetores e de escalares, e associação no produto por escalar. Por exemplo, somando os vetores (1, 2) e (3, 4) obtemos (4, 6), e multiplicando o vetor (2, 3) por 5, resultado em (10, 15).

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