Descreva sucintamente o método de Gauss para a inversibilidade de matrizes através do uso de operações elementares.

Passo 1

O problema é achar a inversa de uma matriz quadrada ,Ain Mn(Bbb R) usando operações elementares de linha. O conteúdo aqui é o método de Gauss–Jordan aplicado à matriz aumentada formada por ,A e a matriz identidade ,In.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada
[A mid In]
onde à esquerda está ,A e à direita ,In. A ideia é, por meio de operações elementares de linha, transformar o bloco esquerdo em ,In.

Passo 3

As operações elementares de linha permitidas são:
  1. trocar duas linhas,
  2. multiplicar uma linha por escalar não nulo,
  3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
    Essas operações correspondem a multiplicações à esquerda por matrizes elementares, que preservam ou indicam singularidade.

Passo 4

Aplicamos sistematicamente a eliminação de Gauss–Jordan:
– Para cada coluna j de 1 a n, escolhemos um pivô não nulo na posição (i,j) a partir da linha i=j.
– Se necessário, trocamos linhas para levar esse pivô para a diagonal.
– Escalamos a linha de pivô para que ele valha 1.
– Eliminamos todos os outros elementos da coluna j zerando-os por combinações lineares com a linha de pivô.
Conforme avançamos de j=1 até j=n, o bloco esquerdo evolui de forma escalonada até virar a identidade.

Passo 5

Ao final, obtemos
[In mid B]
Se todas as colunas puderam ser pivoteadas (nenhum pivô nulo), então ,B é exatamente ,A^-1. Caso em algum passo falte pivô não nulo, ,A não é invertível.

Resposta

O método de Gauss para encontrar ,A^-1 consiste em montar a matriz aumentada [Amid In], aplicar operações elementares de linha (troca, escala, combinação) até reduzir o bloco esquerdo a In. Se todo pivô existir, o bloco direito torna-se A^-1; caso contrário, A é singular.

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