Descreva sucintamente o método de Gauss para a inversibilidade de matrizes através do uso de operações elementares.
Passo 1
O problema é achar a inversa de uma matriz quadrada
usando operações elementares de linha. O conteúdo aqui é o método de Gauss–Jordan aplicado à matriz aumentada formada por
e a matriz identidade
.
Passo 2
Formamos a matriz aumentada
onde à esquerda está
e à direita
. A ideia é, por meio de operações elementares de linha, transformar o bloco esquerdo em
.
Passo 3
As operações elementares de linha permitidas são:
- trocar duas linhas,
- multiplicar uma linha por escalar não nulo,
- somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Essas operações correspondem a multiplicações à esquerda por matrizes elementares, que preservam ou indicam singularidade.
Passo 4
Aplicamos sistematicamente a eliminação de Gauss–Jordan:
– Para cada coluna de
a
, escolhemos um pivô não nulo na posição
a partir da linha
.
– Se necessário, trocamos linhas para levar esse pivô para a diagonal.
– Escalamos a linha de pivô para que ele valha .
– Eliminamos todos os outros elementos da coluna zerando-os por combinações lineares com a linha de pivô.
Conforme avançamos de até
, o bloco esquerdo evolui de forma escalonada até virar a identidade.
– Para cada coluna
– Se necessário, trocamos linhas para levar esse pivô para a diagonal.
– Escalamos a linha de pivô para que ele valha
– Eliminamos todos os outros elementos da coluna
Conforme avançamos de
Passo 5
Ao final, obtemos
Se todas as colunas puderam ser pivoteadas (nenhum pivô nulo), então
é exatamente
. Caso em algum passo falte pivô não nulo,
não é invertível.
Resposta
O método de Gauss para encontrar
consiste em montar a matriz aumentada
, aplicar operações elementares de linha (troca, escala, combinação) até reduzir o bloco esquerdo a
. Se todo pivô existir, o bloco direito torna-se
; caso contrário,
é singular.