Considere o plano pi e a reta r de equações
& pi: 2 x-y+z=2 & r:(x, y, z)=(-1,8,-3)+t(1,-1,2)
Determine a equação do plano alpha que contém r é perpendicular ao plano pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano
pi:2x - y + z = 2
e a reta
r: (x,y,z)=(-1,8,-3) + t,(1,-1,2)
Queremos o plano alpha que contém r e é perpendicular a pi. Lembre-se:
  • Um plano que contém uma reta tem seu vetor normal perpendicular ao vetor diretor da reta.
  • Dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais também são perpendiculares.

Passo 2

Vamos chamar de
d = (1,-1,2)
o vetor diretor de r e de
npi = (2,-1,1)
o vetor normal de pi. Então o vetor normal de alpha, que chamaremos de nalpha, deve satisfazer
nalpha cdot d = 0 e nalpha cdot npi = 0

Passo 3

Um modo eficiente de achar nalpha é tomar o produto vetorial
nalpha = d times npi
Calculando:
d times npi = i & j & k 1 & -1 & 2 2 & -1 & 1 = (1cdot1 - 2cdot(-1),; -(1cdot1 - 2cdot2),;1cdot(-1)-(-1)cdot2) = (1+2,;-(1-4),;-1+2) = (3,3,1)
Também poderíamos usar (1,3,1) ou (3,3,1) (só muda escala); vamos adotar nalpha=(1,3,1).

Passo 4

Agora usamos um ponto de r, por exemplo A(-1,8,-3), e escrevemos a equação de alpha em forma normal:
nalphacdotl((x,y,z)-Ar)=0 ;Longrightarrow; (1,3,1)cdot(x+1,;y-8,;z+3)=0
Expandindo:
(x+1) +3(y-8) + (z+3)=0 ;Longrightarrow; x +3y +z -20=0

Resposta

A equação do plano alpha é
boxedx + 3y + z = 20

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