Considere o plano pi e a reta r de equações
& pi: 2 x-y+z=2 & r:(x, y, z)=(-1,8,-3)+t(1,-1,2)
Determine as coordenadas do ponto P=r cap pi.

Passo 1

O enunciado dá um plano pi de equação
2x - y + z = 2
e uma reta r em forma paramétrica
(x,y,z)=(-1,8,-3) + t,(1,-1,2)
Queremos o ponto P em que a reta cruza o plano, ou seja, basta pegar o ponto genérico da reta, substituir na equação de pi e resolver para t.

Passo 2

Vamos escrever as coordenadas do ponto genérico Q(t) em r:
x(t) = -1 + t, y(t) = 8 - t, z(t) = -3 + 2t

Passo 3

Substituímos (x(t),y(t),z(t)) na equação de pi:
2l(-1 + tr) ;-;l(8 - tr);+;l(-3 + 2tr);=;2
Agora é só simplificar e achar t.

Passo 4

Desenvolvendo:
2(-1) + 2t - 8 + t - 3 + 2t = 2 Longrightarrow -2 - 8 - 3 + (2t + t + 2t) = 2
-13 + 5t = 2 Longrightarrow 5t = 15 Longrightarrow t = 3

Passo 5

Com t=3, o ponto de interseção é
P = l(-1+3,;8-3,;-3+2cdot3r) = (2,5,3)

Resposta

As coordenadas do ponto P são (2,5,3).

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