Considere um sistema linear , onde é uma matriz e é um vetor em . Explique como resolver este sistema usando a eliminação de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear
onde é uma matriz e , usando o método da eliminação de Gauss. Para isso vamos precisar das operações elementares de linha, de um processo de triangularização (forward elimination) e depois de substituição reversa (back substitution).
Passo 2
Formamos a matriz aumentada:
Vamos usar três tipos de operações de linha que não mudam a solução:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra.
Passo 3
Aplicamos a eliminação para triangularização (forward elimination). Para variando de até :
Escolhemos como pivô o elemento . Em implementações práticas, costuma-se fazer pivotamento parcial trocando a linha com alguma linha abaixo que tenha o maior valor em módulo na coluna .
Para cada linha com , eliminamos o coeficiente usando
e substituímos
Ao final desse processo, a parte esquerda da matriz aumentada fica triangular superior:
onde é triangular superior e é o novo vetor do lado direito.
Passo 4
Escrevemos o sistema resultante em forma triangular superior:
Passo 5
Fazemos a substituição reversa (back substitution) para encontrar xn,xn-1,dots,x1 em ordem decrescente de índice. Em geral:
xn = cnunn, xi = 1uiil(ci - sumj=i+1^nuijxjr), i=n-1,n-2,dots,1
Resposta
O método da eliminação de Gauss resolve A x=b em dois estágios: primeiro transformamos a matriz aumentada [Amid b] em uma forma triangular superior por operações elementares de linha (forward elimination) e, em seguida, obtemos a solução x por substituição reversa (back substitution).