Considere um sistema linear A x=b, onde A é uma matriz n times n e b é um vetor em R^n. Explique como resolver este sistema usando a eliminação de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A x = b
onde A é uma matriz ntimes n e binR^n, usando o método da eliminação de Gauss. Para isso vamos precisar das operações elementares de linha, de um processo de triangularização (forward elimination) e depois de substituição reversa (back substitution).

Passo 2

Formamos a matriz aumentada :
Vamos usar três tipos de operações de linha que não mudam a solução:
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra.

Passo 3

Aplicamos a eliminação para triangularização (forward elimination). Para k variando de 1 até n-1:
  1. Escolhemos como pivô o elemento akk. Em implementações práticas, costuma-se fazer pivotamento parcial trocando a linha k com alguma linha abaixo que tenha o maior valor em módulo na coluna k.
  2. Para cada linha i com i>k, eliminamos o coeficiente aik usando
L = aikakk,
e substituímos
linhai linhai ;-; L;linhak
Ao final desse processo, a parte esquerda da matriz aumentada fica triangular superior:
U x = c,
onde U é triangular superior e c é o novo vetor do lado direito.

Passo 4

Escrevemos o sistema resultante em forma triangular superior:
u11x1 + u12x2 + cdots + u1nxn = c1, ;vdots un-1,,n-1xn-1 + un-1,nxn = cn-1, unnxn = cn

Passo 5

Fazemos a substituição reversa (back substitution) para encontrar xn,xn-1,dots,x1 em ordem decrescente de índice. Em geral:
xn = cnunn, xi = 1uiil(ci - sumj=i+1^nuijxjr), i=n-1,n-2,dots,1

Resposta

O método da eliminação de Gauss resolve A x=b em dois estágios: primeiro transformamos a matriz aumentada [Amid b] em uma forma triangular superior por operações elementares de linha (forward elimination) e, em seguida, obtemos a solução x por substituição reversa (back substitution).

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