Considere o espaço
. Defina as operações de soma e produto por escalar. Além disso, mostre quais propriedades essas operações satisfazem.
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos as operações de soma e produto por escalar em
e mostrarmos que elas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial sobre
. Iremos precisar apenas da definição de matriz e das operações algébricas usuais em
.
Passo 2
Definimos para quaisquer
e qualquer escalar
:
onde
e
.
Passo 3
Fechamento das operações:
Passo 4
Propriedades da adição em
1. Comutatividade da soma
1. Comutatividade da soma
2. Associatividade da soma
3. Existência do elemento neutro (matriz zero)
4. Existência de inverso aditivo
Passo 5
Propriedades envolvendo o produto por escalar
1. Distributividade do escalar sobre soma de matrizes
1. Distributividade do escalar sobre soma de matrizes
2. Distributividade sobre soma de escalares
3. Compatibilidade com multiplicação de escalares
4. Existência do escalar neutro
Resposta
As operações de soma e produto por escalar em
estão definidas por
e satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial sobre
: fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inversos aditivos, distributividades, compatibilidade de escalares e existência do escalar neutro.