Considere o espaço M(R, n times m). Defina as operações de soma e produto por escalar. Além disso, mostre quais propriedades essas operações satisfazem.

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos as operações de soma e produto por escalar em M(R,ntimes m) e mostrarmos que elas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial sobre R. Iremos precisar apenas da definição de matriz e das operações algébricas usuais em R.

Passo 2

Definimos para quaisquer A,Bin M(R,ntimes m) e qualquer escalar alphainR:
(A+B)ij = Aij + Bij,
(alpha A)ij = alpha cdot Aij,
onde 1<= i<= n e 1<= j<= m.

Passo 3

Fechamento das operações:
Aij,BijinRimplies Aij+BijinRimplies A+Bin M(R,ntimes m),
alphainR, AijinRimplies alpha AijinRimplies alpha Ain M(R,ntimes m)

Passo 4

Propriedades da adição em M(R,ntimes m)
1. Comutatividade da soma
A + B = B + A
2. Associatividade da soma
(A + B) + C = A + (B + C)
3. Existência do elemento neutro (matriz zero)
A + 0 = A,onde 0ij=0
4. Existência de inverso aditivo
A + (-A) = 0,onde (-A)ij=-Aij

Passo 5

Propriedades envolvendo o produto por escalar
1. Distributividade do escalar sobre soma de matrizes
alpha,(A + B) = alpha A + alpha B
2. Distributividade sobre soma de escalares
(alpha + beta),A = alpha A + beta A
3. Compatibilidade com multiplicação de escalares
alpha,(beta A) = (alphabeta),A
4. Existência do escalar neutro
1cdot A = A

Resposta

As operações de soma e produto por escalar em M(R,ntimes m) estão definidas por
(A+B)ij=Aij+Bij,(alpha A)ij=alpha,Aij,
e satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial sobre R: fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inversos aditivos, distributividades, compatibilidade de escalares e existência do escalar neutro.

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