Considere o espaço M(R, 2). Mostre que só existe uma matriz que satisfaz a equação A times B=B times A=I2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em M(R,2), que dada uma matriz A invertível só existe uma matriz B que satisfaça
A,B = B,A = I2
O conteúdo usado será a associatividade do produto de matrizes e a existência do elemento neutro I2.

Passo 2

Suponha que existam duas matrizes B e C tais que
A,B = B,A = I2 e A,C = C,A = I2

Passo 3

Usando a associatividade e o fato de I2 ser neutro, temos
B = B,I2 = B,(A,C) = (B,A),C = I2,C = C

Resposta

A inversa de A em M(R,2) é única, ou seja, só existe uma matriz B que satisfaz A,B = B,A = I2.

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