Defina o produto cartesiano e explique como ele é usado para definir o espaço
juntamente com as operações de soma e produto por escalar. Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para a gente lembrar o que é o produto cartesiano e mostrar como, a partir dele, a gente constrói o espaço
equipando-o com as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Isso envolve:
– Definir .
– Ver que .
– Escrever as fórmulas de soma e de produto por escalar em .
– Dar exemplos numéricos.
– Definir
– Ver que
– Escrever as fórmulas de soma e de produto por escalar em
– Dar exemplos numéricos.
Passo 2
O produto cartesiano de dois conjuntos
e
é o conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento vem de
e o segundo de
. Formalmente,
Aqui cada par
é um “vetorzinho” com coordenadas em
e em
.
Passo 3
No nosso caso, tomamos
, o conjunto dos números reais. Então
Em
definimos duas operações:
– Soma de vetores: para e
em
,
– Soma de vetores: para
– Multiplicação por escalar: para
e
,
Com essas operações,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
Passo 4
Vamos ver exemplos concretos:
- Soma de vetores
- Produto por escalar
- Combinação linear
Resposta
O produto cartesiano de dois conjuntos
e
é
Definimos
e, nele, para quaisquer
e
,
Exemplos:
,
.