Defina o produto cartesiano e explique como ele é usado para definir o espaço R^2 juntamente com as operações de soma e produto por escalar. Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para a gente lembrar o que é o produto cartesiano e mostrar como, a partir dele, a gente constrói o espaço R^2 equipando-o com as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Isso envolve:
– Definir A times B.
– Ver que R^2 = R times R.
– Escrever as fórmulas de soma e de produto por escalar em R^2.
– Dar exemplos numéricos.

Passo 2

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento vem de A e o segundo de B. Formalmente,
A times B = (a,b)mid a in A,; b in B
Aqui cada par (a,b) é um “vetorzinho” com coordenadas em A e em B.

Passo 3

No nosso caso, tomamos A = B = R, o conjunto dos números reais. Então
R^2 = R times R = (x,y)mid xinR,;yinR
Em R^2 definimos duas operações:
– Soma de vetores: para (x1,y1) e (x2,y2) em R^2,
(x1,y1) + (x2,y2) = (,x1 + x2,;y1 + y2,)
– Multiplicação por escalar: para alphainR e (x,y)inR^2,
alpha cdot (x,y) = (,alpha x,;alpha y,)
Com essas operações, R^2 satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.

Passo 4

Vamos ver exemplos concretos:
  1. Soma de vetores
(1,2) + (3,4) = (,1+3,;2+4,) = (4,6)
  1. Produto por escalar
2cdot(-1,3) = (,2cdot(-1),;2cdot3,) = (-2,6)
  1. Combinação linear
(-1,2) + 3cdot(2,-1) = (-1,2) + (6,-3) = (, -1+6,;2-3,) = (5,-1)

Resposta

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é
A times B = (a,b)mid ain A,;bin B
Definimos R^2 = RtimesR e, nele, para quaisquer (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e alphainR,
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2), alpha,(x,y) = (alpha x,alpha y)
Exemplos: (1,2)+(3,4)=(4,6), ;2cdot(-1,3)=(-2,6).

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