Considere o espaço M(R, 3). Mostre que só existe uma matriz que satisfaz a equação A times B=B times A=I3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em M(R,3), dada uma matriz A, só existe uma matriz B tal que
A,B = B,A = I3
O conteúdo é a unicidade da inversa de uma matriz. Vamos usar apenas propriedades da multiplicação e da matriz identidade.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam duas matrizes B e C em M(R,3) tais que
A,B = B,A = I3 e A,C = C,A = I3
Então fazemos a seguinte conta, sempre respeitando a associatividade da multiplicação de matrizes e o fato de I3 ser neutro:
B = B ,I3 = B,(A,C) = (B,A),C = I3,C = C

Resposta

Logo B=C, ou seja, a inversa de A é única.

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