Considere o espaço euclidiano
. Dados os vetores
e
, determine o operador autoadjunto
, tal que
e
, sabendo que o traço de
é 12.
Passo 1
O enunciado pede um operador autoadjunto
(ou seja, matrizes simétricas na base canônica) tal que
sendo
e
. Vamos escrever a matriz genérica simétrica
impor
Av=T(v) ,
Aw=T(w) e
tr(A)=12 , e resolver para
a,b,c,d,e,f .
Passo 2
Impondo
Av=T(v) com
v=(1,0,2) e
T(v)=(4,-5,15) temos
isto é,
Passo 3
Impondo
Aw=T(w) com
w=(1,1,-1) e
T(w)=(0,4,-8) obtemos
isto é,
Passo 4
Da simetria das equações nota-se que
a+b-c=0 e
c+e-f=-8 juntos conduzem ao mesmo relacionamento entre
c e
e .
Resolvendo sistematicamente:
Resolvendo sistematicamente:
Substituindo
e e resolvendo aparece
c=1 . Então
Passo 5
Portanto a matriz de
T na base canônica é
que é simétrica, satisfaz
Av e
Aw dados, e
tr(A)=2+3+7=12 .
Resposta
cuja matriz na base canônica é