Considere o espaço euclidiano R^3. Dados os vetores v=(1,0,2) e w=(1,1,-1), determine o operador autoadjunto T: R^3 R^3, tal que T(v)=(4,-5,15) e T(w)=(0,4,-8), sabendo que o traço de T é 12.

Passo 1

O enunciado pede um operador autoadjunto TcolonR^3toR^3 (ou seja, matrizes simétricas na base canônica) tal que
T(v)=(4,-5,15), T(w)=(0,4,-8),traço(T)=12, ç
sendo v=(1,0,2) e w=(1,1,-1). Vamos escrever a matriz genérica simétrica
A= a & b & c b & d & e c & e & f ,
impor Av=T(v), Aw=T(w) e tr(A)=12, e resolver para a,b,c,d,e,f.

Passo 2

Impondo Av=T(v) com v=(1,0,2) e T(v)=(4,-5,15) temos
A102 = a+2c b+2e c+2f = 4-515,
isto é,
a + 2c = 4, b + 2e = -5, c + 2f = 15

Passo 3

Impondo Aw=T(w) com w=(1,1,-1) e T(w)=(0,4,-8) obtemos
A11-1 = a+b-c b+d-e c+e-f = 04-8,
isto é,
a + b - c = 0, b + d - e = 4, c + e - f = -8

Passo 4

Da simetria das equações nota-se que a+b-c=0 e c+e-f=-8 juntos conduzem ao mesmo relacionamento entre c e e.
Resolvendo sistematicamente:
a=4-2c, b=-5-2e, f=tfrac15-c2,
a+b-c=0;Longrightarrow;3c+2e=-1;Longrightarrow;e=tfrac-1-3c2,
d=4+e-b=9+3e,e a condição de traço a+d+f=12 dá çãçá
(4-2c)+l(9+3er)+tfrac15-c2=12
Substituindo e e resolvendo aparece c=1. Então
c=1,;e=-2,;b=-1,;a=2,;d=3,;f=7

Passo 5

Portanto a matriz de T na base canônica é
A= 2 & -1 & 1 -1 & 3 & -2 1 & -2 & 7 ,
que é simétrica, satisfaz Av e Aw dados, e tr(A)=2+3+7=12.

Resposta

T(x,y,z) =l(2x - y + z,;-x + 3y - 2z,;x - 2y + 7zr),
cuja matriz na base canônica é
2 & -1 & 1 -1 & 3 & -2 1 & -2 & 7

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