Se os operadores
são autoadjuntos, prove que
é autoadjunto. Que se pode dizer do operador
?
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: o problema trata de operadores lineares
num espaço com produto interno, que são autoadjuntos, ou seja, satisfazem
Precisamos usar a propriedade geral do adjunto de um produto de operadores:
para mostrar que
é autoadjunto e depois investigar
.
Passo 2
Aplicamos a propriedade do adjunto a cada termo de
. Como
para quaisquer
, temos
Como
e
são autoadjuntos, substituímos
e
, obtendo
Passo 3
Agora computamos o adjunto de
:
Como
, concluímos que
é autoadjunto.
Passo 4
Para o operador comutador antissimétrico
, fazemos cálculo semelhante:
Isto mostra que
ou seja,
é anti-autoadjunto (ou seja, “skew-adjoint”).