Se os operadores S, T in L(V) são autoadjuntos, prove que S T+T S é autoadjunto. Que se pode dizer do operador S T-T S?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: o problema trata de operadores lineares S,TinL(V) num espaço com produto interno, que são autoadjuntos, ou seja, satisfazem
S^*=S e T^*=T
Precisamos usar a propriedade geral do adjunto de um produto de operadores:
(ST)^* = T^*S^*,
para mostrar que ST+TS é autoadjunto e depois investigar ST-TS.

Passo 2

Aplicamos a propriedade do adjunto a cada termo de ST+TS. Como (AB)^*=B^*A^* para quaisquer A,B, temos
(ST)^* = T^*S^* e (TS)^* = S^*T^*
Como S e T são autoadjuntos, substituímos S^*=S e T^*=T, obtendo
(ST)^* = T,S e (TS)^* = S,T

Passo 3

Agora computamos o adjunto de ST+TS:
(ST+TS)^* = (ST)^* + (TS)^* = TS + ST = ST + TS
Como (ST+TS)^*=ST+TS, concluímos que ST+TS é autoadjunto.

Passo 4

Para o operador comutador antissimétrico ST - TS, fazemos cálculo semelhante:
(ST - TS)^* = (ST)^* - (TS)^* = TS - ST = -l(ST - TSr)
Isto mostra que
(ST - TS)^* = -l(ST - TSr),
ou seja, ST - TS é anti-autoadjunto (ou seja, “skew-adjoint”).

Resposta

ST + TS é autoadjunto e ST - TS é anti-autoadjunto.

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