Para os operadores dados, classifique em autoadjunto ou ortogonal.
No espaço com p.i. usual,
Passo 1
Vamos recapitular o que temos: o espaço vetorial é munido do produto interno usual
e o operador linear é
isto é, ele “troca” a primeira linha com a segunda. Para classificar , precisamos (1) verificar se (autoadjunto) e (2) checar se preserva o produto interno, isto é
Passo 2
Definição de adjunto: satisfaz
Se conseguirmos mostrar que , então .
Sejam
Então
e
Por outro lado
e
que é exatamente o mesmo número. Logo
isto é, é autoadjunto.
Passo 3
Definição de operador ortogonal: é ortogonal se
Usando as mesmas matrizes e do passo anterior, temos
então
Mas o produto interno original é
e portanto
Isso mostra que preserva o produto interno, logo é ortogonal.
Resposta
T é simultaneamente autoadjunto (T^*=T) e ortogonal.