Para os operadores dados, classifique em autoadjunto ou ortogonal.
No espaço M(2 times 2, R) com p.i. usual, T([lla & b c & d])=[llc & d a & b]

Passo 1

Vamos recapitular o que temos: o espaço vetorial é munido do produto interno usual
e o operador linear é
isto é, ele “troca” a primeira linha com a segunda. Para classificar , precisamos (1) verificar se (autoadjunto) e (2) checar se preserva o produto interno, isto é

Passo 2

Definição de adjunto: satisfaz
Se conseguirmos mostrar que
, então .
Sejam
Então
e
Por outro lado
e
que é exatamente o mesmo número. Logo
isto é, é autoadjunto.

Passo 3

Definição de operador ortogonal: é ortogonal se
Usando as mesmas matrizes e do passo anterior, temos
então
Mas o produto interno original é
e portanto
Isso mostra que preserva o produto interno, logo é ortogonal.

Resposta

T é simultaneamente autoadjunto ( T^*=T) e ortogonal.

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