Sejam duas bases ortonormais, e , de . Prove que o operador , que verificat é ortogonal.
No caso particular do espaço euclideano , com as bases:
determine a matriz de na base canônica de .
Passo 1
O enunciado diz que temos duas bases ortonormais e de um espaço interno , e um operador linear tal que
Preciso provar que é ortogonal (isto é, preserva o produto interno) e, no caso particular de com duas bases dadas, encontrar a matriz de na base canônica.
Passo 2
Para mostrar que é ortogonal, tomo quaisquer e escrevo-os na base :
Então
Como e são ortonormais,
Logo
e preserva o produto interno, ou seja, é ortogonal.
Passo 3
No caso de com as bases
montamos as matrizes que têm essas colunas na base canônica:
Como U é ortogonal (ui são ortonormais), tem-se U^-1=U^T. A matriz de T na base canônica é
[T]can=V,U^-1=V,U^T
Passo 4
Calculemos o produto inteiro (antes de dividir por 21):