Sejam duas bases ortonormais, alpha=u1, cdots, un e beta=v1, cdots, vn, de V. Prove que o operador T in L(V), que verificat T u1=v1, ldots, T un=vn é ortogonal.
No caso particular do espaço euclideano R^3, com as bases:
u1=13(1,2,2), u2=13(2,1,-2), u3=13(2,-2,1)
v1=17(2,3,6), v2=17(6,2,-3), v3=17(3,-6,2),
determine a matriz de T na base canônica de R^3.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas bases ortonormais
alpha=u1,dots,un e beta=v1,dots,vn de um espaço interno V, e um operador linear T tal que
T(ui)=vi, i=1,dots,n
Preciso provar que T é ortogonal (isto é, preserva o produto interno) e, no caso particular de R^3 com duas bases dadas, encontrar a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Para mostrar que T é ortogonal, tomo quaisquer x,yin V e escrevo-os na base alpha:
x=sumi=1^nxii,ui, y=sumi=1^netai,ui
Então
T(x)=sumi=1^nxii,vi, T(y)=sumi=1^netai,vi
Como alpha e beta são ortonormais,
lang<= x,yrang<= =sumi=1^nxii,etai, lang<= T(x),T(y)rang<= =sumi=1^nxii,etai
Logo
lang<= T(x),T(y)rang<==lang<= x,yrang<=,
e T preserva o produto interno, ou seja, é ortogonal.

Passo 3

No caso de R^3 com as bases
u1=tfrac13(1,2,2),; u2=tfrac13(2,1,-2),; u3=tfrac13(2,-2,1),
v1=tfrac17(2,3,6),; v2=tfrac17(6,2,-3),; v3=tfrac17(3,-6,2),
montamos as matrizes que têm essas colunas na base canônica:
U=tfrac13 1 & 2 & 2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 , V=tfrac17 2 & 6 & 3 3 & 2 & -6 6 & -3 & 2
Como U é ortogonal ( ui são ortonormais), tem-se U^-1=U^T. A matriz de T na base canônica é
[T]can=V,U^-1=V,U^T

Passo 4

Calculemos o produto inteiro (antes de dividir por 21):
M= 2 & 6 & 3 3 & 2 & -6 6 & -3 & 2 1 & 2 & 2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 = 20 & 4 & -5 -5 & 20 & -4 4 & 5 & 20
Como houve os fatores tfrac17 em V e tfrac13 em U, o fator comum é tfrac121.

Passo 5

Portanto a matriz de T na base canônica de R^3 é
[T]can =121 20 & 4 & -5 -5 & 20 & -4 4 & 5 & 20

Resposta

[T]can =121 20 & 4 & -5 -5 & 20 & -4 4 & 5 & 20

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