Considere o espaço euclidiano R^3. Dados os vetores u=(4,4,-2), v=(4,-2,4) e w=(1,-2,-2), seja T: R^3 R^3 o operador linear que verifica: T u=(10,-2,-2), T v=(2,10,-2) e T w=(1,1,-5), prove que T é autoadjunto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador linear
Tcolon R^3 to R^3
é autoadjunto, ou seja, que vale
lang<= T x, y rang<= = lang<= x, T y rang<= forall x,y in R^3,
onde lang<= cdot, cdot rang<= é o produto interno canônico em R^3.

Passo 2

Primeiro note que os vetores
são dois a dois ortogonais, pois
Logo formam uma base ortogonal de .

Passo 3

Bastará então verificar a condição de simetria em apenas um par (u,v). Calcule
lang<= T u,;vrang<= =;(10,-2,-2)cdot(4,-2,4) =10cdot4+(-2)cdot(-2)+(-2)cdot4 =40+4-8=36,
enquanto
lang<= u,;T vrang<= =(4,4,-2)cdot(2,10,-2) =4cdot2+4cdot10+(-2)cdot(-2) =8+40+4=52
Como 36neq52, não se cumpre
lang<= T u,vrang<==lang<= u,T vrang<=.

Resposta

O operador T não satisfaz lang<= T x,yrang<==lang<= x,T yrang<= (já falha em (u,v)), logo não é autoadjunto.

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