Considere o espaço euclidiano
. Dados os vetores
, seja
o operador linear que verifica:
,
e
, prove que
é autoadjunto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador linear
é autoadjunto, ou seja, que vale
é autoadjunto, ou seja, que vale
onde
é o produto interno canônico em
.
Passo 2
Primeiro note que os vetores
são dois a dois ortogonais, pois
Logo
formam uma base ortogonal de .
Passo 3
Bastará então verificar a condição de simetria em apenas um par
. Calcule
enquanto
Como
, não se cumpre
.
Resposta
O operador
não satisfaz
(já falha em
), logo não é autoadjunto.