Seja v=(a, b, c) um vetor unitário de R^3, diferente de pm e3. Mostre que existe x in R, tal que a matriz [ccca & b & c b x & -a x & o a c x & b c x & -1 / x] é ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá um vetor unitário v=(a,b,c)inR^3 com a^2+b^2+c^2=1 e vneqpm e3 (isto é, a^2+b^2neq0), e pede para mostrar que existe xinR tal que a matriz
A = a & b & c b,x & -a,x & 0 a,c,x & b,c,x & -tfrac1x
é ortogonal. O conteúdo necessário é a definição de matriz ortogonal: A^T A=I, ou seja, suas colunas formam um sistema ortonormal em R^3.

Passo 2

Denotemos por as colunas de :
Para ser ortogonal precisamos que

Passo 3

Impondo a ortogonalidade entre c1 e c2 temos
c1cdotc2 = a b + (b,x)(-a,x)+ (a,c,x)(b,c,x) = abl[1 - x^2 + c^2 x^2r] = abl[1 - x^2(a^2+b^2)r]
Como ab pode ser não-zero, forçamos
1 - x^2(a^2+b^2)=0 Longrightarrow x^2=1a^2+b^2
Isso é bem definido pois a^2+b^2neq0.

Passo 4

Com x^2=1/(a^2+b^2) verificamos agora as normas:
  1. Para c1:
|c1|^2 = a^2 + b^2x^2 + a^2c^2x^2 = a^2 + b^2 + a^2c^2a^2+b^2 = a^2(a^2+b^2) + b^2 + a^2c^2a^2+b^2 =1
  1. De forma análoga |c2|=1.
  2. Para c3:
|c3|^2 = c^2 + 1x^2 = c^2 + (a^2+b^2) =1
E ainda as mistas com c3 dão zero, pois por exemplo
c1cdotc3 = a c + (a c x)(-1/x)=0.

Resposta

Basta escolher
x = 1raiza^2+b^2 ou x = -1raiza^2+b^2,
que satisfazem todos os requisitos, tornando A ortogonal.

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