Seja um vetor unitário de , diferente de . Mostre que existe , tal que a matriz é ortogonal.
Passo 1
O enunciado dá um vetor unitário v=(a,b,c)inR^3 com a^2+b^2+c^2=1 e vneqpm e3 (isto é, a^2+b^2neq0), e pede para mostrar que existe xinR tal que a matriz
A = a & b & c b,x & -a,x & 0 a,c,x & b,c,x & -tfrac1x
é ortogonal. O conteúdo necessário é a definição de matriz ortogonal: A^T A=I, ou seja, suas colunas formam um sistema ortonormal em R^3.
Passo 2
Denotemos por as colunas de :
Para ser ortogonal precisamos que
Passo 3
Impondo a ortogonalidade entre c1 e c2 temos
c1cdotc2 = a b + (b,x)(-a,x)+ (a,c,x)(b,c,x) = abl[1 - x^2 + c^2 x^2r] = abl[1 - x^2(a^2+b^2)r]