Considere um espaço de Hilbert composto por funções definidas no intervalo . A função
satisfaz a condição de que ?
Passo 1
Beleza, então o exercício tá na parte de espaço de Hilbert, que nada mais é do que o conjunto de funções pra quem faz sentido falar de produto interno e “norma”. Aqui queremos saber se a função
é “quadrado-integrável” no intervalo . Em outras palavras, precisamos checar se
Isso define o tal “”, a parte de funções que têm integral do quadrado finita.
Passo 2
Pra resolver, a ideia é calcular mesmo essa integral
Como a gente costuma fazer pra integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Isso simplifica bastante a conta, transformando um num termo constante e num mais fácil de integrar.
Passo 3
Aplicando a identidade em , a integral vira
Vamos em partes:
.
A primitiva de é . Aqui , entãoporque e .
Juntando tudo:
que é um número finito.
Resposta
Sim! A integral vale , logo é finita e pertence ao espaço de Hilbert .