Considere um espaço de Hilbert composto por funções definidas no intervalo 0. A função
varphi(x)=sin pi3 x
satisfaz a condição de que integral0^3 varphi^*(x) varphi(x) d x ?

Passo 1

Beleza, então o exercício tá na parte de espaço de Hilbert, que nada mais é do que o conjunto de funções pra quem faz sentido falar de produto interno e “norma”. Aqui queremos saber se a função
varphi(x)=sin!l(tfracpi3xr)
é “quadrado-integrável” no intervalo integral0^3|varphi(x)|^2,dx. Em outras palavras, precisamos checar se
Isso define o tal “ ”, a parte de funções que têm integral do quadrado finita.

Passo 2

Pra resolver, a ideia é calcular mesmo essa integral
integral0^3sin^2!l(tfracpi3xr),dx
Como a gente costuma fazer pra integrar sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 , usamos a identidade trigonométrica:
Isso simplifica bastante a conta, transformando um num termo constante e num mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade em integral0^3sin^2!l(tfracpi3xr),dx = integral0^31 - cosl(2cdottfracpi3xr)2,dx = 12integral0^3,dx ;-;12integral0^3cos!l(tfrac2pi3xr),dx , a integral vira
integral0^3cos!l(tfrac2pi3xr),dx = 32pi,sin!l(tfrac2pi3xr)|0^3 = 32pil[sin(2pi)-sin(0)r] = 0,
Vamos em partes:
  1. integral0^3sin^2!l(tfracpi3xr),dx = 12cdot 3 ;-; 12cdot 0 = 32,
  2. .
    A primitiva de é . Aqui , então porque e .
Juntando tudo:
que é um número finito.

Resposta

Sim! A integral vale , logo é finita e pertence ao espaço de Hilbert .

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