Encontre a transformada de Fourier de
.
Passo 1
Então, a questão é: “Encontre a transformada de Fourier de
”. Isso é um exercício de transformada de Fourier envolvendo a função delta de Dirac e a propriedade de escala dessa distribuição. Para resolver, vamos precisar:
- Saber o que é a transformada de Fourier (definição integral).
- Entender a propriedade de escala da delta de Dirac, isto é, como
se relaciona com .
Passo 2
Antes de sair cortando, vamos lembrar a propriedade de escala da delta de Dirac:
desde que
. Isso vem do fato de que a delta “puxa” o valor da função em zero, mas ao comprimir ou esticar o eixo por
a área tem que se preservar, gerando o fator
.
Passo 3
Agora, a definição da transformada de Fourier que a gente vai usar é
No nosso caso,
. Então montamos:
Passo 4
Substituindo a propriedade de escala
:
E a integral
é simplesmente , porque a delta “puxa” o valor da função no ponto
.
é simplesmente