Considere o espaço
. Defina apropriadamente o operador determinante. Exiba algumas de suas propriedades.
Passo 1
O enunciado nos pede para definir o operador determinante no espaço das matrizes
de coeficientes reais, que chamamos de
, e em seguida exibir algumas de suas propriedades fundamentais. O conteúdo envolve a definição clássica via somatório sobre permutações e as propriedades de multilinearidade, alternância, normalização, multiplicatividade e relação com inversão e transposição.
Passo 2
Definimos a aplicação
de modo que, para
valha
onde
é o grupo de permutações de
e é
se
for par e
se
for ímpar.
Passo 3
A primeira propriedade é a multilinearidade em cada linha (ou coluna), isto é, se trocarmos uma linha por soma ou produto escalar, o determinante se comporta linearmente nessa linha. Em particular, quando duas linhas de
são iguais, pelo caráter alternante,
Passo 4
A segunda propriedade é a normalização no caso da matriz identidade
:
Passo 5
A terceira propriedade é a multiplicatividade: para quaisquer
,
Passo 6
Por fim, vale ainda que
(ou seja, invariante por transposição) e que
(ou seja, invariante por transposição) e que
além de
sempre que
existir.
Resposta
O operador determinante é a aplicação
Algumas de suas propriedades principais são:
(i) multilinearidade em cada linha;
(ii) alternância (se uma linha se repete então );
(iii) normalização ;
(iv) multiplicatividade ;
(v) invariância à transposição ;
(vi) invertibilidade invertível e
.
(i) multilinearidade em cada linha;
(ii) alternância (se uma linha se repete então
(iii) normalização
(iv) multiplicatividade
(v) invariância à transposição
(vi) invertibilidade