Considere o espaço M(R, 3). Defina apropriadamente o operador determinante. Exiba algumas de suas propriedades.

Passo 1

O enunciado nos pede para definir o operador determinante no espaço das matrizes 3times3 de coeficientes reais, que chamamos de M(R,3), e em seguida exibir algumas de suas propriedades fundamentais. O conteúdo envolve a definição clássica via somatório sobre permutações e as propriedades de multilinearidade, alternância, normalização, multiplicatividade e relação com inversão e transposição.

Passo 2

Definimos a aplicação
de modo que, para
valha
onde é o grupo de permutações de e é se for par e se for ímpar.

Passo 3

A primeira propriedade é a multilinearidade em cada linha (ou coluna), isto é, se trocarmos uma linha por soma ou produto escalar, o determinante se comporta linearmente nessa linha. Em particular, quando duas linhas de A são iguais, pelo caráter alternante,
det(A)=0

Passo 4

A segunda propriedade é a normalização no caso da matriz identidade Iin M(R,3):
det(I)=1

Passo 5

A terceira propriedade é a multiplicatividade: para quaisquer A,Bin M(R,3),
det(AB)=det(A),det(B)

Passo 6

Por fim, vale ainda que
det(A^T)=det(A)
(ou seja, invariante por transposição) e que
A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq0, éí
além de
det(A^-1)=1/det(A) sempre que A^-1 existir.

Resposta

O operador determinante é a aplicação
Algumas de suas propriedades principais são:
(i) multilinearidade em cada linha;
(ii) alternância (se uma linha se repete então );
(iii) normalização ;
(iv) multiplicatividade ;
(v) invariância à transposição ;
(vi) invertibilidade invertível e .

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