Seja V=\mathbb{R}^{3} e S=\{(-1,2,-1)\}. Determine S^{\perp}. Qual a dimensão de S^{\perp} ?

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 com o produto interno usual e o subconjunto
S=\{(-1,2,-1)\}.
Queremos determinar
S^{\perp}=\{w\in\mathbb{R}^3\mid w\cdot v=0\\ \text{para todo }v\in S\},
ou seja, todos os vetores ortogonais a (-1,2,-1).

Passo 2

Seja w=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Impor w\cdot(-1,2,-1)=0 dá a equação
(-1)\,x + 2\,y + (-1)\,z = 0,
isto é,
-x + 2y - z = 0.

Passo 3

Resolvendo -x +2y -z=0 isolamos x:
x = 2y - z.
Logo um vetor genérico de S^{\perp} é
(x,y,z) = (2y - z,\;y,\;z).
Definindo parâmetros s=y e t=z, obtemos
(2s - t,\;s,\;t) = s\,(2,1,0) \;+\; t\,(-1,0,1).

Passo 4

Portanto
S^{\perp} = \Span\{(2,1,0),\,(-1,0,1)\}.
Dois vetores geradores independentes indicam que
\dim S^{\perp} = 2.

Resposta

S^{\perp} = \Span\{(2,1,0),\,(-1,0,1)\} e \dim S^{\perp}=2.

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