Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais dos espaços indicados.
O conjunto dos vetores
que têm duas ou mais coordenadas nulas .
O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial, que exige:
- O vetor zero pertence a
. -
é fechado sob multiplicação por escalar. -
é fechado sob adição.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
tem cinco coordenadas nulas, portanto “pelo menos duas” é satisfeito. Logo,
.
Passo 3
Tomemos um vetor qualquer
. Por hipótese, ele tem duas ou mais coordenadas nulas, digamos
e
. Para qualquer escalar
, o vetor
terá
logo também tem pelo menos duas coordenadas nulas. Assim,
, e
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Agora testamos o fechamento sob adição. Considere
De fato,
tem as coordenadas
(quatro zeros) e
tem
(duas zeros). Porém
tem somente uma coordenada zero (a quinta), ou seja, tem apenas uma coordenada nula, o que viola a condição de “duas ou mais coordenadas nulas”. Logo
.
Resposta
O conjunto
não é subespaço vetorial de
, pois falha a propriedade de fechamento sob adição.