Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais dos espaços indicados.
O conjunto dos vetores v \in \mathbb{R}^{5} que têm duas ou mais coordenadas nulas .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \{\,v=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5})\in\mathbb{R}^{5}\mid \text{pelo menos dois dos }v_{i}\text{ são zero}\}ã
é um subespaço de \mathbb{R}^{5}. Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial, que exige:
  1. O vetor zero pertence a S.
  2. S é fechado sob multiplicação por escalar.
  3. S é fechado sob adição.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0,0,0) tem cinco coordenadas nulas, portanto “pelo menos duas” é satisfeito. Logo, 0\in S.

Passo 3

Tomemos um vetor qualquer v\in S. Por hipótese, ele tem duas ou mais coordenadas nulas, digamos v_{i}=0 e v_{j}=0. Para qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, o vetor \lambda v terá
(\lambda v)_{i} = \lambda\cdot v_{i} = \lambda\cdot 0 = 0 \quad\text{e}\quad (\lambda v)_{j} = 0,
logo também tem pelo menos duas coordenadas nulas. Assim, \lambda v\in S, e S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Agora testamos o fechamento sob adição. Considere
v = (1,0,0,0,0)\in S \quad\text{e}\quad w = (0,1,1,1,0)\in S.
De fato, v tem as coordenadas v_{2}=v_{3}=v_{4}=v_{5}=0 (quatro zeros) e w tem w_{1}=w_{5}=0 (duas zeros). Porém
v + w = (1,1,1,1,0)
tem somente uma coordenada zero (a quinta), ou seja, tem apenas uma coordenada nula, o que viola a condição de “duas ou mais coordenadas nulas”. Logo v+w\notin S.

Resposta

O conjunto S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5}, pois falha a propriedade de fechamento sob adição.

Exercícios relacionados