Considere o espaço de matrizes reais quadradas de ordem 2, M2(R). Verifique quais das seguintes transformações são lineares:
T: M2(R) R tal que lla & b c & d

Passo 1

Estamos no espaço vetorial M2(R) das matrizes reais 2times2. A transformação dada é T:,M2(R)toR definida por Tl(a & b c & dr)=2a+3b+c-d. Para mostrar que T é linear, precisamos usar a definição: para quaisquer X,Yin M2(R) e escalar kinR, deve valer

Passo 2

Vamos verificar a propriedade de aditividade: sejam A=a1 & b1 c1 & d1 e B=a2 & b2 c2 & d2. Então
T(A+B)=Tl(a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2r) =2(a1+a2)+3(b1+b2)+(c1+c2)-(d1+d2) =(2a1+3b1+c1-d1)+(2a2+3b2+c2-d2) = T(A)+T(B)

Passo 3

Agora verificamos homogeneidade: seja kinR e A=a & b c & d. Então
T(kA)=Tl(ka & kb kc & kdr) =2(ka)+3(kb)+(kc)-(kd) =k(2a+3b+c-d) =k,T(A)

Passo 4

Como T(A+B)=T(A)+T(B) e T(kA)=k,T(A) valem, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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